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A.1.2 微分の計算

関数$y = f(x)$ と関数$z = g(x)$ の積を$x$ で微分すると、微分の定義より以下のようになる。

$$\frac{d(yz)}{dx} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{x+\Delta x-x}$$

$$= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\{f(x+\Delta x)-f(x)\}g(x+\Delta x)+f(x)\{g(x+\Delta x)-g(x)\}}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\{f(x+\Delta x)-f(x)\}}{\Delt... ...rrow 0}f(x) \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\{g(x+\Delta x)-g(x)\}}{\Delta x}$$

$$= \frac{dy}{dx}z + y\frac{dz}{dx}$$ (A.1)

左辺が$y^2$ の場合は、上式において$z = y$ とすれば以下のようになる。

$$\frac{d(y^2)}{dx} = \frac{dy}{dx}y + y\frac{dy}{dx}$$

$$= 2 y\frac{dy}{dx}$$ (A.2)

上式で$y$ ではなく、ベクトル $\bm{v}=(u, v, w)$ であると、次のようになる。

$$\frac{d(\bm{v} \cdot \bm{v})}{dt} = \frac{d}{dt} (\bm{v} \cdot \bm{v})$$

$$= \frac{d}{dt} (u^2 + v^2 + w^2)$$

$$= \frac{d(u^2)}{dt} + \frac{d(v^2)}{dt} + \frac{d(w^2)}{dt}$$

$$= 2 u \frac{du}{dt} + 2 v \frac{dv}{dt} + 2 w \frac{dw}{dt}$$

$$= 2 \bigg( u \frac{du}{dt} + v \frac{dv}{dt} + w \frac{dw}{dt} \bigg)$$

$$= 2 \bm{v} \cdot \frac{d\bm{v}}{dt}$$ (A.3)

関数$a = f(x)$ と関数$b = g(x)$ と関数$c = h(x)$ の積の微分を式(A.1)から求める。

$$\frac{d(abc)}{dx} = \frac{d(ab)(c)}{dx} = \frac{d(ab)}{x}c + ab\frac{dc}{dx} = \big... ...\bigg)c + ab\frac{dc}{dx} = bc\frac{da}{dx} + ac\frac{db}{dx} + ab\frac{dc}{dx}$$ (A.4)

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