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A.1.2 微分の計算

関数$ y = f(x)$ と関数$ z = g(x)$ の積を$ x$ で微分すると、微分の定義より以下のようになる。

$\displaystyle \frac{d(yz)}{dx}$ $\displaystyle = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{x+\Delta x-x}$    
  $\displaystyle = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\{f(x+\Delta x)-f(x)\}g(x+\Delta x)+f(x)\{g(x+\Delta x)-g(x)\}}{\Delta x}$    
  $\displaystyle = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\{f(x+\Delta x)-f(x)\}}{\Delt...
...rrow 0}f(x) \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\{g(x+\Delta x)-g(x)\}}{\Delta x}$    
  $\displaystyle = \frac{dy}{dx}z + y\frac{dz}{dx}$ (A.1)

左辺が$ y^2$ の場合は、上式において$ z = y$ とすれば以下のようになる。

$\displaystyle \frac{d(y^2)}{dx}$ $\displaystyle = \frac{dy}{dx}y + y\frac{dy}{dx}$    
  $\displaystyle = 2 y\frac{dy}{dx}$ (A.2)

上式で$ y$ ではなく、ベクトル $ \bm{v}=(u, v, w)$ であると、次のようになる。

$\displaystyle \frac{d(\bm{v} \cdot \bm{v})}{dt}$ $\displaystyle = \frac{d}{dt} (\bm{v} \cdot \bm{v})$    
  $\displaystyle = \frac{d}{dt} (u^2 + v^2 + w^2)$    
  $\displaystyle = \frac{d(u^2)}{dt} + \frac{d(v^2)}{dt} + \frac{d(w^2)}{dt}$    
  $\displaystyle = 2 u \frac{du}{dt} + 2 v \frac{dv}{dt} + 2 w \frac{dw}{dt}$    
  $\displaystyle = 2 \bigg( u \frac{du}{dt} + v \frac{dv}{dt} + w \frac{dw}{dt} \bigg)$    
  $\displaystyle = 2 \bm{v} \cdot \frac{d\bm{v}}{dt}$ (A.3)

関数$ a = f(x)$ と関数$ b = g(x)$ と関数$ c = h(x)$ の積の微分を式(A.1)から求める。

$\displaystyle \frac{d(abc)}{dx}$ $\displaystyle = \frac{d(ab)(c)}{dx} = \frac{d(ab)}{x}c + ab\frac{dc}{dx} = \big...
...\bigg)c + ab\frac{dc}{dx} = bc\frac{da}{dx} + ac\frac{db}{dx} + ab\frac{dc}{dx}$ (A.4)


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