1.2.8 解答

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1.2.8 解答

熱、単位はJ（ジュール）。1.2.2節 p. 参照。
内部エネルギー、単位はJ（ジュール）。1.2.3節 p. 参照。
熱・内部エネルギー・仕事・運動エネルギー・位置エネルギー。すべて単位はJ（ジュール）。参考までに他の単位は運動量[kg m/s]・温度[℃]・圧力[Pa]・速度[m/s]である。
まず6畳の部屋の体積を求める。
m $\times 3.6$ m $\times 2.6$ m m
空気の密度は1.176 kg/m とあるので、部屋の空気の質量を求める。
m $^3 \times 1.176$ kg/m kg $\simeq 29.72$ kg
p. の式(1.3)より内部エネルギーの変化が求まる。
$0.717 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 {\rm kg} \times ( 34 {\rm ℃} - 27 {\rm ℃} ) = 149.16468 {\rm kJ} \simeq 149.2 {\rm kJ}$
内部エネルギーの変化量と同じエネルギーを熱として奪う（p. の式(1.6)）ので、熱の大きさは149.2 kJである。
鍋の中の水の質量を求める。
$2.0 \times 10^-3 {\rm m}^3 \times 984.79 {\rm kg/m}^3 = 1.96958 {\rm kg} \simeq 1.970 {\rm kg}$
p. の式(1.3)より内部エネルギーの変化が求まる。
$3.992 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.970 {\rm kg} \times ( 100 {\rm ℃} - 20 {\rm ℃} ) = 629.1392 {\rm kJ} \simeq 629.1 {\rm kJ}$
内部エネルギーの変化量と同じエネルギーを加熱する（p. の式(1.6)）ので、熱の大きさは629.1 kJである。
問4から6畳の部屋の体積は25.272 m 、部屋の空気の質量は29.72kgである。また、問5から鍋の中の水の質量は1.97kgである。等しくなった際の温度をとすると、お湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_湯$ と部屋の空気の内部エネルギーの変化 $\Delta U_空$ は式(1.3) p. より次式で表される。
$\Delta U_空 = c_v m \Delta T = 0.717 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 {\rm k... ...{\rm [℃]} ) \simeq 21.309 {\rm kJ/K} \times ( 27 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} )$
$\Delta U_湯 = c_v m \Delta T = 3.992 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.97 {\rm kg... ...{\rm [℃]} ) \simeq 7.864 {\rm kJ/K} \times ( 100 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} )$
内部エネルギーの変化は等しいので（p. の式(1.6)）次式が成り立つ。
$- \Delta U_空 = \Delta U_湯$
上式に $\Delta U_空$ 、 $\Delta U_湯$ の値を代入すると次の関係が成り立つ。
$- 21.309 {\rm kJ/K} \times ( 27 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} ) = 7.864 {\rm kJ/K} \times ( 100 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} )$
$T_等 \simeq 46.68 {\rm ℃}$
また、内部エネルギーの変化と伝わった熱の大きさは等しいので（p. の式(1.6)）次式が成り立つ。
$\Delta U_湯 = - \Delta U_空 = \vert Q\vert$
$\Delta U_湯$ から伝わった熱を求める。
$\vert Q\vert = \Delta U_湯 \simeq 7.864 {\rm kJ/K} \times ( 100 {\rm ℃} - T_�... ...s ( 100 {\rm ℃} - 46.68 {\rm ℃} ) = 419.30848 {\rm kJ} \simeq 419.31 {\rm kJ}$
2 のお湯で6畳の部屋を46.68℃まで温めることができ、伝わる熱の大きさは419.31 kJである。
お湯の質量を求める。
$2.0 \times 10^-3 {\rm m}^3 \times 984.79 {\rm kg/m}^3 = 1.96958 {\rm kg} \simeq 1.970 {\rm kg}$
等しくなった際の温度をとすると、お湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_湯$ とレトルトカレーの内部エネルギーの変化 $\Delta U_カ$ は式(1.3) p. より次式で表される。
$\Delta U_湯 = c_v m \Delta T = 3.992 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.970 {\rm k... ...{\rm [℃]} ) \simeq 7.864 {\rm kJ/K} \times ( 100 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} )$
$\Delta U_カ = c_v m \Delta T = 3.992 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 0.200 {\rm k... ... {\rm [℃]} ) \simeq 0.798 {\rm kJ/K} \times ( 20 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} )$
内部エネルギーの変化は等しいので（p. の式(1.6)）次式が成り立つ。
$\Delta U_湯 = - \Delta U_カ$
上式に $\Delta U_湯$ 、 $\Delta U_カ$ の値を代入すると次の関係が成り立つ。
$7.864 {\rm kJ/K} \times ( 100 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} ) = - 0.798 {\rm kJ/K} \times ( 20 {\rm ℃} - T_等 {\rm [℃]} )$
$T_等 \simeq 92.63 {\rm ℃}$
また、内部エネルギーの変化と伝わった熱の大きさは等しいので（p. の式(1.6)）次式が成り立つ。
$\Delta U_湯 = - \Delta U_カ = \vert Q\vert$
$\Delta U_湯$ から伝わった熱を求める。
$\vert Q\vert = \Delta U_湯 \simeq 7.864 {\rm kJ/K} \times ( 100 {\rm ℃} - T_�... ...mes ( 100 {\rm ℃} - 92.63 {\rm ℃} ) = 57.95768 {\rm kJ} \simeq 57.96 {\rm kJ}$
2 のお湯でレトルトカレーを92.63℃まで温めることができ、伝わる熱の大きさは57.96 kJである。
快適と考える温度を18℃として解答をする。また、18℃となる鍋の中のお湯の質量をとおく。問6と同様に問4から6畳の部屋の体積は25.272 m 、部屋の空気の質量は29.72kgである。部屋の空気の内部エネルギーの変化 $\Delta U_空$ とお湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_湯$ は式(1.3) p. より次式で表される。
$\Delta U_空 = c_v m \Delta T = 0.717 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 {\rm k... ...s ( 5 {\rm ℃} - 18 {\rm ℃} ) = - 277.02012 {\rm kJ} \simeq - 277.02 {\rm kJ}$
$\Delta U_湯 = c_v m \Delta T = 3.992 {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times m_湯 {\rm [k... ...m kJ/kg} \times m_湯 {\rm [kg]} \simeq 327.34 {\rm kJ/kg} \times m_湯 {\rm kg}$
内部エネルギーの変化は等しいので（p. の式(1.6)）次式が成り立つ。
$- \Delta U_空 = \Delta U_湯$
上式に $\Delta U_空$ 、 $\Delta U_湯$ の値を代入すると次の関係が成り立つ。
$277.02 {\rm kJ} = 327.34 {\rm kJ/kg} \times m_湯 {\rm [kg]}$ $m_湯 {\rm [kg]} = 0.846276043 {\rm kg}$ $m_湯 {\rm [kg]} \simeq 0.846 {\rm kg}$ 問5よりお湯の密度は984.79 kg/m であるので体積は以下のように求まる。
$0.846 {\rm kg} / 984.79 {\rm kg/m} = 8.59066 \times 10^{-4} {\rm m}^3 = 0.859066 l \simeq 0.86 l$
0.86 の100℃のお湯で6畳の部屋を5℃から18℃に暖めることができる。