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1.2.8 解答

1. 熱、単位はJ（ジュール）。1.2.2節 $^{\text{p.\pageref{sec-Heat}}}$ 参照。

2. 内部エネルギー、単位はJ（ジュール）。1.2.3節 $^{\text{p.\pageref{sec-InternalEnergy}}}$ 参照。

3. 熱・内部エネルギー・仕事・運動エネルギー・位置エネルギー。すべて単位はJ（ジュール）。参考までに他の単位は運動量[kg m/s]・温度[℃]・圧力[Pa]・速度[m/s]である。

4. まず6畳の部屋の体積を求める。
   $2.7$ m $\times 3.6$ m $\times 2.6$ m$= 25.272$ m$^3$
   空気の密度は1.176 kg/m$^3$ とあるので、部屋の空気の質量を求める。
   $25.272$ m $^3 \times 1.176$ kg/m $^3 = 29.719872$ kg $\simeq 29.72$ kg
   式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より内部エネルギーの変化が求まる。
   $0.717 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 \: {\rm kg} \times ( 27 \: {\rm ℃} - 34 \: {\rm ℃} ) = - 149.16468 \: {\rm kJ} \simeq - 149.2 \: {\rm kJ}$
   内部エネルギーの変化量と同じエネルギーを熱として奪う（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので、熱の大きさは- 149.2 kJである。

5. 鍋の中の水の質量を求める。
   $2.0 \times 10^-3 \: {\rm m}^3 \times 984.79 \: {\rm kg/m}^3 = 1.96958 \: {\rm kg} \simeq 1.970 \: {\rm kg}$
   式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より内部エネルギーの変化が求まる。
   $3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.970 \: {\rm kg} \times ( 100 \: {\rm ℃} - 20 \: {\rm ℃} ) = 629.1392 \: {\rm kJ} \simeq 629.1 \: {\rm kJ}$
   内部エネルギーの変化量と同じエネルギーを加熱する（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので、熱の大きさは629.1 kJである。
6. 問4から6畳の部屋の体積は25.272 m$^3$ 、部屋の空気の質量は29.72kgである。また、問5から鍋の中の水の質量は1.97kgである。等しくなった際の温度を$T_等$ とすると、お湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_湯$ と部屋の空気の内部エネルギーの変化 $\Delta U_空$ は式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より次式で表される。
   $\Delta U_空 = c_v m \Delta T = 0.717 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 \:... ... \simeq 21.309 \: {\rm kJ/K} \times ( 27 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} )$
   $\Delta U_湯 = c_v m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.97 \: ... ... \simeq 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 100 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} )$
   内部エネルギーの変化は等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $- \Delta U_空 = \Delta U_湯$
   上式に $\Delta U_空$ 、 $\Delta U_湯$ の値を代入すると次の関係が成り立つ。
   $- 21.309 \: {\rm kJ/K} \times ( 27 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} ) = 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 100 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} )$
   $T_等 \simeq 46.68 \: {\rm ℃}$
   また、内部エネルギーの変化と伝わった熱の大きさは等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $\Delta U_湯 = - \Delta U_空 = \vert Q\vert$
   $\Delta U_湯$ から伝わった熱$Q$ を求める。
   $\vert Q\vert = \Delta U_湯 \simeq 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 100 \: {\rm �... ...m ℃} - 46.68 \: {\rm ℃} ) = 419.30848 \: {\rm kJ} \simeq 419.31 \: {\rm kJ}$
   2 $l$ のお湯で6畳の部屋を46.68℃まで温めることができ、伝わる熱の大きさは419.31 kJである。

7. お湯の質量を求める。
   $2.0 \times 10^-3 \: {\rm m}^3 \times 984.79 \: {\rm kg/m}^3 = 1.96958 \: {\rm kg} \simeq 1.970 \: {\rm kg}$
   等しくなった際の温度を$T_等$ とすると、お湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_湯$ とレトルトカレーの内部エネルギーの変化 $\Delta U_カ$ は式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より次式で表される。
   $\Delta U_湯 = c_v m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.970 \:... ... \simeq 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 100 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} )$
   $\Delta U_カ = c_v m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 0.200 \:... ...) \simeq 0.798 \: {\rm kJ/K} \times ( 20 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} )$
   内部エネルギーの変化は等しい（式(1.6 $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ )）ので次式が成り立つ。
   $\Delta U_湯 = - \Delta U_カ$
   上式に $\Delta U_湯$ 、 $\Delta U_カ$ の値を代入すると次の関係が成り立つ。
   $7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 100 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} ) = - 0.798 \: {\rm kJ/K} \times ( 20 \: {\rm ℃} - T_等 \: {\rm [℃]} )$
   $T_等 \simeq 92.63 \: {\rm ℃}$
   また、内部エネルギーの変化と伝わった熱の大きさは等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $\Delta U_湯 = - \Delta U_カ = \vert Q\vert$
   $\Delta U_湯$ から伝わった熱$Q$ を求める。
   $\vert Q\vert = \Delta U_湯 \simeq 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 100 \: {\rm �... ...\rm ℃} - 92.63 \: {\rm ℃} ) = 57.95768 \: {\rm kJ} \simeq 57.96 \: {\rm kJ}$
   2 $l$ のお湯でレトルトカレーを92.63 ℃まで温めることができ、伝わる熱の大きさは57.96 kJである。

8. 快適と考える温度を18℃として解答をする。また、18℃となる鍋の中のお湯の質量を$m_湯$ とおく。問6と同様に問4から6畳の部屋の体積は25.272 m$^3$ 、部屋の空気の質量は29.72kgである。部屋の空気の内部エネルギーの変化 $\Delta U_空$ とお湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_湯$ は式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より次式で表される。
   $\Delta U_空 = c_v m \Delta T = 0.717 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 \:... ...℃} - 18 \: {\rm ℃} ) = - 277.02012 \: {\rm kJ} \simeq - 277.02 \: {\rm kJ}$
   $\Delta U_湯 = c_v m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times m_湯 \:... ...imes m_湯 \: {\rm [kg]} \simeq 327.34 \: {\rm kJ/kg} \times m_湯 \: {\rm kg}$
   内部エネルギーの変化は等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $- \Delta U_空 = \Delta U_湯$
   上式に $\Delta U_空$ 、 $\Delta U_湯$ の値を代入すると次の関係が成り立つ。
   $277.02 \: {\rm kJ} = 327.34 \: {\rm kJ/kg} \times m_湯 \: {\rm [kg]}$ $m_湯 \: {\rm [kg]} = 0.846276043 \: {\rm kg}$ $m_湯 \: {\rm [kg]} \simeq 0.846 \: {\rm kg}$ 問5よりお湯の密度は984.79 kg/m$^3$ であるので体積は以下のように求まる。
   $0.846 \: {\rm kg} / 984.79 \: {\rm kg/m} = 8.59066 \times 10^{-4} \: {\rm m}^3 = 0.859066 \: l \simeq 0.86 \: l$
   0.86 $l$ の100℃のお湯で6畳の部屋を5℃から18℃に暖めることができる。

このように空気は水よりも比熱が小さく、空気を加熱して温度を上げるのには、水の温度を上げるよりもはるかに小さなエネルギーでよいことがわかる。

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