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2.4.1.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

運動エネルギー

（計算は付録の式(A.3)p.参照）

$$\frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{1}{2} \rho \bm{v}^2 dxdydz \right) = \frac{1} {2} \rho \frac{\partial (\bm{v}^2) }{\partial t} dxdydz \nonumber$$

$$= \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} dxdydz$$

位置エネルギー

（密度一定の仮定より）

$$\frac{\partial }{\partial t} \left( \rho gy dxdydz \right) = 0$$

内部エネルギー

（顕熱）

$$\frac{\partial }{\partial t} \left( \rho c_v T dxdydz \right) = \rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} dxdydz$$

以上のエネルギーの時間変化の和(運動エネルギー＋位置エネルギー＋内部エネルギー)から、持っている全エネルギーの時間変化は次式で表される。

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) dxdydz$$ (2.90)

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