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2.5.3.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$- \rho_{x -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x -}} \cdot \bm{A}_{x -}= ... ...{x -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$$ (2.207)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$- \rho_{x +} D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x +}} \cdot \bm{A}_{x +}= - \rho_{x +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \bigg\vert _{x +}dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial... ...artial \omega_i}{\partial x} }{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial... ...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx \bigg) dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial... ... }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx^2}_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.208)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$- \rho_{y -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y -}} \cdot \bm{A}_{y -} =... ...{y -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dzdx$$ (2.209)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$- \rho_{y +} D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y +}} \cdot \bm{A}_{y +}= - \rho_{y +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \bigg\vert _{y +}dzdx$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{y -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.210)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$- \rho_{z -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z -}} \cdot \bm{A}_{z -} =... ...{z -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdy$$ (2.211)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$- \rho_{z +} D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z +}} \cdot \bm{A}_{z +}= - \rho_{z +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\vert _{z +}dxdy$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{z -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.212)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が"拡散による成分の質量の出入"になる。展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直面

式(2.208)$-$ 式(2.209)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^... ...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$$ (2.213)

$y$ 軸に垂直面

式(2.210)$-$ 式(2.211)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial y^... ...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$$ (2.214)

$z$ 軸に垂直面

式(2.212)$-$ 式(2.213)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^... ...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$$ (2.215)

xyz軸での出入の総和式(2.214)$+$ 式(2.215)$+$ 式(2.216)をとると、コントロールボリューム全体での拡散による成分の質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$D_i \bigg( \rho \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } + \dfrac{... ...{\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= D_i \bigg\{ \rho \bigg( \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x... ...\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\} dxdydz$$

$$= D_i \big( \rho \bm{\nabla}^2 \omega_i + \bm{\nabla} \rho \cdot \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$$

$$= D_i \bm{\nabla} \cdot \big( \rho \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$$ (2.216)

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