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2.4.1.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

運動エネルギー

（計算は付録の式(A.3)p.参照）

$$\frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{1} {2} \rho \bm{v} \cdot \bm{v} dxdydz \right) = \frac{1} {2} \frac{\partial (\rho \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial t} dxdydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho \frac{\partial (\bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial t} + \bm{v} \cdot \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg) dxdydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( 2 \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{v} \cdot \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg) dxdydz$$

$$= \bigg( \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \frac{1}{2} \bm{v} \cdot \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg) dxdydz$$

位置エネルギー

$$\frac{\partial }{\partial t} \left( \rho gy dxdydz \right) = \frac{\partial \rho}{\partial t} gy dxdydz$$

内部エネルギー

（顕熱）

$$\frac{\partial }{\partial t} \left( \rho c_v T dxdydz \right) = c_v \frac{\partial (\rho T)}{\partial t} dxdydz$$

$$= c_v \left( \rho \frac{\partial T}{\partial t} + T \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) dxdydz$$

以上のエネルギーの時間変化の和(運動エネルギー＋位置エネルギー＋内部エネルギー)から、持っている全エネルギーの時間変化は次式で表される。

$$\bigg\{ \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \frac{1}{2... ...tial T}{\partial t} + T \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) \bigg\} dxdydz$$

$$= \bigg\{ \rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partia... ...al t} \bigg( \frac{1}{2} \bm{v} \cdot \bm{v} + gy + c_v T \bigg) \bigg\} dxdydz$$ (2.94)

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