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2.4.1.1 圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は変化する)

運動エネルギー
(計算は付録の式(A.3)p.[*]参照)

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}$ $\displaystyle \left( \frac{1} {2} \rho \bm{v} \cdot \bm{v} dxdydz \right) = \frac{1} {2} \frac{\partial (\rho \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial t} dxdydz$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \bigg( \rho \frac{\partial (\bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial t} + \bm{v} \cdot \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \bigg( 2 \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{v} \cdot \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = \bigg( \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \frac{1}{2} \bm{v} \cdot \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg) dxdydz$    

位置エネルギー

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t} \left( \rho gy dxdydz \right) = \frac{\partial \rho}{\partial t} gy dxdydz$    

内部エネルギー
(顕熱)

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}$ $\displaystyle \left( \rho c_v T dxdydz \right) = c_v \frac{\partial (\rho T)}{\partial t} dxdydz$    
  $\displaystyle = c_v \left( \rho \frac{\partial T}{\partial t} + T \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) dxdydz$    

以上のエネルギーの時間変化の和(運動エネルギー+位置エネルギー+内部エネルギー)から、持っている全エネルギーの時間変化は次式で表される。

$\displaystyle \bigg\{$ $\displaystyle \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \frac{1}{2...
...tial T}{\partial t} + T \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) \bigg\} dxdydz$    
  $\displaystyle = \bigg\{ \rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partia...
...al t} \bigg( \frac{1}{2} \bm{v} \cdot \bm{v} + gy + c_v T \bigg) \bigg\} dxdydz$ (2.94)


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