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1.4.10 解答

1. 可逆熱機関の効率は式(1.34) $^{\text{p.\pageref{eq-CarnotHeatengineEfficiency}}}$ で表される。二つの熱源の差が大きいほど効率は良くなるため、5℃と1000℃の組み合わせが最も効率が高くなる。式(1.34)中 $\varTheta_1$ [K]が高温熱源温度、 $\varTheta_2$ [K]が低温熱源の温度であるので、それぞれ求める。

   $$\varTheta_1 = 1000 + 273.15 = 1273.15 \: {\rm K}$$

   $$\varTheta_2 = 5 + 273.15 = 278.15 \: {\rm K}$$

   
   
   $$\epsilon = \frac{\varTheta_1 - \varTheta_2}{\varTheta_1} = \frac{1273.15 \: {\rm K} - 278.15 \: {\rm K}}{1273.15 \: {\rm K}} \simeq 0.781$$
   効率は0.781である。
2. 可逆熱機関の効率は式(1.34) $^{\text{p.\pageref{eq-CarnotHeatengineEfficiency}}}$ で表される。 1000℃と900℃の組合せでの効率 $\epsilon_h$ は次のように求められる。
   $$\epsilon_h = \frac{1273.15 \: {\rm K} - 1173.15 \: {\rm K}}{1273.15 \: {\rm K}} \simeq 0.079$$
   100℃と0℃の組合せでの効率 $\epsilon_l$ は次のように求められる。
   $$\epsilon_l = \frac{373.15 \: {\rm K} - 273.15 \: {\rm K}}{373.15 \: {\rm K}} \simeq 0.268$$

   このように同じ温度差で可逆熱機関を動作させた場合でも、熱源の温度によって効率は大きく異なる。 900℃の低温熱源で効率0.268を得るには1130.14℃の高温熱源が必要である。

3. 可逆熱機関の効率は式(1.34) $^{\text{p.\pageref{eq-CarnotHeatengineEfficiency}}}$ で表される。 何もない宇宙空間との組合せでの効率 $\epsilon_h$ は次のように求められる。
   $$\epsilon_{space} = \frac{300 \: {\rm K} - 2.7 \: {\rm K}}{300 \: {\rm K}} \simeq 0.991$$
   太陽との組合せでの効率 $\epsilon_{sun}$ は次のように求められる。
   $$\epsilon_l = \frac{6000 \: {\rm K} - 300 \: {\rm K}}{6000 \: {\rm K}} \simeq 0.950$$
   このように宇宙空間と地球表面での方が効率が高いが、伝わる熱量は太陽からの方が圧倒的に高いため、動作させれば得られる仕事は太陽との方が大きくなる。

4. 式(1.13) $^{\text{p.\pageref{eq-EfficiencyPumpQ}}}$ より
   $$\epsilon_{12可} = \frac{ \vert Q_{1 可} \vert }{ \vert Q_{1 可... ...= \frac{ 1 }{ 1 - \dfrac{ \vert Q_{2 可} \vert }{ \vert Q_{1 可} \vert } }$$
   ここに式(1.32) $^{\text{p.\pageref{eq-AbsoluteTemperature}}}$ を代入する。
   $$\epsilon_{12可} = \frac{ 1 }{ 1 - \dfrac{\varTheta_2}{\varTheta_1} } = \frac{\varTheta_1}{\varTheta_1 - \varTheta_2}$$
   可逆ヒートポンプの効率は熱源の温度により上式のように表される。

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