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1.2.8 解答

1. 熱、単位はJ（ジュール）。1.2.2節 $^{\text{p.\pageref{sec-Heat}}}$ 参照。

2. 内部エネルギー、単位はJ（ジュール）。1.2.3節 $^{\text{p.\pageref{sec-InternalEnergy}}}$ 参照。

3. 熱・内部エネルギー・仕事・運動エネルギー・位置エネルギー。すべて単位はJ（ジュール）。参考までに他の単位は運動量[kg m/s]・温度[℃またはK]・圧力[Pa]・速度[m/s]である。

4. まず6畳の部屋の体積を求める。
   $2.7$ m $\times 3.6$ m $\times 2.6$ m$= 25.272$ m$^3$
   空気の密度は1.176 kg/m$^3$ とあるので、部屋の空気の質量を求める。
   $25.272$ m $^3 \times 1.176$ kg/m $^3 = 29.719872$ kg $\simeq 29.72$ kg
   式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より内部エネルギーの変化が求まる。
   $0.717 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 \: {\rm kg} \times ( 27 \: {\rm ℃} - 34 \: {\rm ℃} ) = - 149.16468 \: {\rm kJ} \simeq - 149.2 \: {\rm kJ}$
   内部エネルギーの変化量と同じエネルギーを熱として奪う（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので、熱の大きさは- 149.2 kJである。

5. 鍋の中の水の質量を求める。
   $2.0 \times 10^-3 \: {\rm m}^3 \times 984.79 \: {\rm kg/m}^3 = 1.96958 \: {\rm kg} \simeq 1.970 \: {\rm kg}$
   式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より内部エネルギーの変化が求まる。
   $3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.970 \: {\rm kg} \times ( 100 \: {\rm ℃} - 20 \: {\rm ℃} ) = 629.1392 \: {\rm kJ} \simeq 629.1 \: {\rm kJ}$
   内部エネルギーの変化量と同じエネルギーを加熱する（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので、熱の大きさは629.1 kJである。
6. 問4から6畳の部屋の体積は25.272 m$^3$ 、部屋の空気の質量は29.72kgである。また、問5から鍋の中の水の質量は1.97kgである。等しくなった際の温度を $T_$等 とすると、お湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_$湯 と部屋の空気の内部エネルギーの変化 $\Delta U_$空 は式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より次式で表される。
   $\Delta U_$空$= c_{v} m \Delta T = 0.717 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 \: {\rm kg} \times ( T_$等$- 27 \: {\rm ℃} ) \\ = 21.30924 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 27 \: {\rm ℃} ) \simeq 21.309 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 27 \: {\rm ℃} )$
   $\Delta U_$湯$= c_{v} m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.97 \: {\rm kg} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} ) \\ = 7.86424 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} ) \simeq 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} )$
   内部エネルギーの変化は等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $\Delta U_$空$= - \Delta U_$湯
   上式に $\Delta U_$空 、 $\Delta U_$湯 の値を代入すると次の関係が成り立つ。
   $21.309 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 27 \: {\rm ℃} ) = - 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} )$
   $T_$等$\simeq 46.68 \: {\rm ℃}$
   また、内部エネルギーの変化と伝わった熱の大きさは等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $\Delta U_$空$= - \Delta U_$湯$= \vert Q\vert$
   $\Delta U_$湯 から伝わった熱$Q$ を求める。
   $\vert Q\vert = - \Delta U_$湯$\simeq 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} ) = - 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 46.68 \: {\rm ℃} - 100 \: {\rm ℃} ) = 419.30848 \: {\rm kJ} \simeq 419.31 \: {\rm kJ}$
   2 Lのお湯で6畳の部屋を46.68℃まで温めることができ、伝わる熱の大きさは419.31 kJである。

7. お湯の質量を求める。
   $2.0 \times 10^-3 \: {\rm m}^3 \times 984.79 \: {\rm kg/m}^3 = 1.96958 \: {\rm kg} \simeq 1.970 \: {\rm kg}$
   等しくなった際の温度を $T_$等 とすると、お湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_$湯 とレトルトカレーの内部エネルギーの変化 $\Delta U_$カ は式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より次式で表される。
   $\Delta U_$湯$= c_{v} m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 1.970 \: {\rm kg} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} ) \\ = 7.86424 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} ) \simeq 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} )$
   $\Delta U_$カ$= c_{v} m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 0.200 \: {\rm kg} \times ( T_$等$- 20 \: {\rm ℃} ) \\ = 0.7984 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 20 \: {\rm ℃} ) \simeq 0.798 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 20 \: {\rm ℃} )$
   内部エネルギーの変化は等しい（式(1.6 $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ )）ので次式が成り立つ。
   $- \Delta U_$湯$= \Delta U_$カ
   上式に $\Delta U_$湯 、 $\Delta U_$カ の値を代入すると次の関係が成り立つ。
   $- 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} ) = 0.798 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 20 \: {\rm ℃} )$
   $T_$等$\simeq 92.63 \: {\rm ℃}$
   また、内部エネルギーの変化と伝わった熱の大きさは等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $- \Delta U_$湯$= \Delta U_$カ$= \vert Q\vert$
   $\Delta U_$湯 から伝わった熱$Q$ を求める。
   $\vert Q\vert = - \Delta U_$湯$\simeq - 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( T_$等$- 100 \: {\rm ℃} ) = - 7.864 \: {\rm kJ/K} \times ( 92.63 \: {\rm ℃} - 100 \: {\rm ℃} ) = 57.95768 \: {\rm kJ} \simeq 57.96 \: {\rm kJ}$
   2 Lのお湯でレトルトカレーを92.63 ℃まで温めることができ、伝わる熱の大きさは57.96 kJである。

8. 快適と考える温度を18℃として解答をする。また、18℃となる鍋の中のお湯の質量を $m_$湯 とおく。問6と同様に問4から6畳の部屋の体積は25.272 m$^3$ 、部屋の空気の質量は29.72kgである。部屋の空気の内部エネルギーの変化 $\Delta U_$空 とお湯の内部エネルギーの変化 $\Delta U_$湯 は式(1.3) $^{\text{p.\pageref{eq-InternalTemperatureDelta}}}$ より次式で表される。
   $\Delta U_$空$= c_{v} m \Delta T = 0.717 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times 29.72 \: {\rm kg} \... ...{\rm ℃} - 5 \: {\rm ℃} ) = 277.02012 \: {\rm kJ} \simeq 277.02 \: {\rm kJ}$
   $\Delta U_$湯$= c_{v} m \Delta T = 3.992 \: {\rm kJ/(kg \cdot K)} \times m_$湯$\times ( 18 \: {\rm ℃} - 100 \: {\rm ℃} ) \\ = - 327.344 \: {\rm kJ/kg} \times m_$湯$\simeq - 327.34 \: {\rm kJ/kg} \times m_$湯$$
   内部エネルギーの変化は等しい（式(1.6) $^{\text{p.\pageref{eq-HeatInternalHighLow}}}$ ）ので次式が成り立つ。
   $\Delta U_$空$= - \Delta U_$湯
   上式に $\Delta U_$空 、 $\Delta U_$湯 の値を代入すると次の関係が成り立つ。
   $277.02 \: {\rm kJ} = 327.34 \: {\rm kJ/kg} \times m_$湯
   $m_$湯$= 0.846276043 \: {\rm kg}$
   $m_$湯$\simeq 0.846 \: {\rm kg}$
   問5よりお湯の密度は984.79 kg/m$^3$ であるので体積は以下のように求まる。
   $(0.846 \: {\rm kg}) / (984.79 \: {\rm kg/m^3}) = 8.59066 \times 10^{-4} \: {\rm m}^3 = 0.859066 \: \rm L \simeq 0.86 \: \rm L$
   0.86 Lの100℃のお湯で6畳の部屋を5℃から18℃に暖めることができる。

このように空気は水よりも比熱が小さく、空気を加熱して温度を上げるのには、水の温度を上げるよりもはるかに小さなエネルギーでよいことがわかる。

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