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2.1.5 出入の項 対流

対流による出入は"質量流量×質量あたりの物理量"で表される。 この“対流による出入”について考える。対流は移流とも呼ばれ、流体中で流れによって対象とする物理量が運ばれる現象である。例として、図2.4のように水槽の中で、インクの濃度を物理量として考えてみる。水槽の下半分にインクをゆっくり入れ、その後上半分に水をゆっくり注ぐと、インクと水はほとんど混ざらず、上部に水、下部にインクの層ができる。この時、水槽の底から上向きの流れを作ったとき（水槽の底にストローが刺さっており、勢いよくインクを入れたとき）インク（濃度の高い流体）が上に向かって流れることにより、インクが水槽下部から上部へ運ばれる。この上向きの流れが発生した位置にコントロールボリュームをとると、下向きの面では対流によりインク（濃度の高い流体）が入り、上向きの面では対流により水（濃度の低い流体）が出て行くことになり、”対流による出入”がおこる。

図 2.4: Advection

対流により出入りする量は、対象とする物理量を運ぶ流れの強さによる。例えば図2.1の左側の面から一秒あたりに対象とする物理量が流入する量 $F_{adv, {x -}}$ を考える。この $F_{adv, {x -}}$ を左側の面に流入する質量流量 $\dot{m}_{x -}$ によって表すと、次のようになる。

$$F_{adv, {x -}} = \phi \dot{m}_{x -}$$

ここで$\phi$ は単位質量あたりの対象とする物理量を表す。インクの例であれば、1kg中に含まれるインクの質量（濃度）が$\phi$ に入る。質量流量 $\dot{m}_{x -}$ [kg/s]は流体の密度 $\rho_{x -}$ [kg/m$^3$ ]と体積流量$V_{x -}$ [m$^3$ /s]で

$$\dot{m}_{x -}= \rho_{x -}V_{x -}$$

と表される。また、体積流量$V_{x -}$ [m$^3$ /s]は、通過する図2.1の左側の面 $\bm{A}_{x -}$ [m$^2$ ]の面積が微小($dydz$ )であるので、速度の分布は一様であるとし、x方向の速度 $\bm{v}_{x -}$ [m/s]と面積 $\bm{A}_{x -}$ [m$^2$ ]で（速度ベクトルと面積ベクトルの内積）

$$V_{x -}= \bm{v}_{x -}\cdot \bm{A}_{x -}= u_{x -}dydz$$

速度ベクトル$\bm{v}$ [m/s]はx方向成分速度$u$ [m/s]、y方向成分速度$v$ [m/s]、z方向成分速度$w$ [m/s]で次のように表される。

$$\bm{v} = \left( \begin{array}{c} u v w \end{array} \right)$$

上記三式から、対象とする物理量が流入する量 $F_{adv, {x -}}$ は

$$F_{adv, {x -}} = \phi \rho u_{x -}dydz$$

と表される。

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