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2.2.2.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}= \rho_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{A}_{x -}= \rho_{x -}u_{x -}dydz$$ (2.12)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +} = \rho_{x +}\bm{v}_{x +}\cdot \bm{A}_{x +}= \rho_{x +}u_{x +}dydz... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -}u_{x -}+ \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\p... ...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$ (2.13)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}= \rho_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{A}_{y -}= \rho_{y -}v_{y -}dzdx$$ (2.14)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +} = \rho_{y +}\bm{v}_{y +}\cdot \bm{A}_{y +}= \rho_{y +}v_{y +}dzdx... ...-} + \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \bigg) dzdx$$

$$= \bigg( \rho_{y -}v_{y -}+ \rho_{y -}\left. \frac{\partial v}{\p... ...\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dzdx$$ (2.15)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}= \rho_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{A}_{z -}= \rho_{z -}w_{z -}dxdy$$ (2.16)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +} = \rho_{z +}\bm{v}_{z +}\cdot \bm{A}_{z +}= \rho_{z +}w_{z +}dxdy... ...-} + \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} d z \bigg) dxdy$$

$$= \bigg( \rho_{z -}w_{z -}+ \rho_{z -}\left. \frac{\partial w}{\p... ...\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dxdy$$ (2.17)

まず$xyz$ 軸それぞれに垂直な面の和を求め、その和が“対流による質量の出入"となる。各軸に垂直な面の和をとる際に、出て行く方向が正となるように符号を加える（x軸に垂直な右の面では、x軸の正の方向で出る方向なので、負号$-$ を加え向きを変える）。

$x$ 軸に垂直面

式(2.13)$-$ 式(2.14)

$$- \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\ve... ...x -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$$ (2.18)

$y$ 軸に垂直面

式(2.15)$-$ 式(2.16)

$$- \bigg( \rho_{y -}\left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\ve... ...y -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$$ (2.19)

$z$ 軸に垂直面

式(2.17)$-$ 式(2.18)

$$- \bigg( \rho_{z -}\left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\ve... ...z -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$$ (2.20)

xyz軸での出入の総和、式(2.19)$+$ 式(2.20)$+$ 式(2.21)をとると、コントロールボリューム全体での対流による質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \bigg\{ \rho \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) + u \dfrac{\partial \rho}{\partial x} + v \dfrac{\partial \rho}{\pa... ...ydz = - (\rho \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho ) dxdydz$$

$$= - \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) dxdyxz$$ (2.21)

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