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2.2.2.1 圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は変化する)

展開後に微分の四乗となる項 $ (dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。
$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \dot{m}_{x -}= \rho_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{A}_{x -}= \rho_{x -}u_{x -}dydz$ (2.12)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \dot{m}_{x +}$ $\displaystyle = \rho_{x +}\bm{v}_{x +}\cdot \bm{A}_{x +}= \rho_{x +}u_{x +}dydz...
...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = \bigg( \rho_{x -}u_{x -}+ \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\p...
...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$ (2.13)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{y -}= \rho_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{A}_{y -}= \rho_{y -}v_{y -}dzdx$ (2.14)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{y +}$ $\displaystyle = \rho_{y +}\bm{v}_{y +}\cdot \bm{A}_{y +}= \rho_{y +}v_{y +}dzdx...
...-} + \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = \bigg( \rho_{y -}v_{y -}+ \rho_{y -}\left. \frac{\partial v}{\p...
...\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dzdx$ (2.15)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle \dot{m}_{z -}= \rho_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{A}_{z -}= \rho_{z -}w_{z -}dxdy$ (2.16)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle \dot{m}_{z +}$ $\displaystyle = \rho_{z +}\bm{v}_{z +}\cdot \bm{A}_{z +}= \rho_{z +}w_{z +}dxdy...
...-} + \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} d z \bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = \bigg( \rho_{z -}w_{z -}+ \rho_{z -}\left. \frac{\partial w}{\p...
...\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dxdy$ (2.17)

まず$ xyz$ 軸それぞれに垂直な面の和を求め、その和が“対流による質量の出入"となる。各軸に垂直な面の和をとる際に、出て行く方向が正となるように符号を加える(x軸に垂直な右の面では、x軸の正の方向で出る方向なので、負号$ -$ を加え向きを変える)。

$ x$ 軸に垂直面
式(2.13)$ -$ 式(2.14)

$\displaystyle - \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\ve...
...x -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$ (2.18)

$ y$ 軸に垂直面
式(2.15)$ -$ 式(2.16)

$\displaystyle - \bigg( \rho_{y -}\left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\ve...
...y -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$ (2.19)

$ z$ 軸に垂直面
式(2.17)$ -$ 式(2.18)

$\displaystyle - \bigg( \rho_{z -}\left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\ve...
...z -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$ (2.20)

xyz軸での出入の総和、式(2.19)$ +$ 式(2.20)$ +$ 式(2.21)をとると、コントロールボリューム全体での対流による質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.[*])。

$\displaystyle - \bigg\{ \rho \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) +$ $\displaystyle u \dfrac{\partial \rho}{\partial x} + v \dfrac{\partial \rho}{\pa...
...ydz = - (\rho \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho ) dxdydz$    
  $\displaystyle = - \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) dxdyxz$ (2.21)


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