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2.4.4.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

xyz軸での出入の総和式(2.176) へ面に垂直な$\tau$ の式(2.175)と面に平行な$\tau$ の式(2.61)を代入すると、コントロールボリューム全体での時間あたりの仕事が次式で求められる。

$$\bigg( - P \dfrac{\partial u}{\partial x} - P \dfrac{\partial v}{\partia... ...artial x} - v \dfrac{\partial P}{\partial y} - w \dfrac{\partial P}{\partial z}$$

$$+ u \dfrac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + v \dfrac{\partial \t... ...\tau_{xz}}{\partial x} + w \dfrac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} \bigg) dxdydz$$

$$= \bigg[ - P \bigg( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial ... ...l x} + v \frac{\partial P}{\partial y} + w \frac{\partial P}{\partial z} \bigg)$$

$$+ u \frac{\partial }{\partial x} \bigg\{ \mu \bigg( 2 \dfrac{\par... ...{\partial w}{\partial z} - \dfrac{2}{3} \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \bigg) \bigg\}$$

$$+ \mu u \bigg\{ \frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{\partia... ...g( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \bigg) \bigg\}$$

$$+ \mu w \bigg\{ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{\partia... ...ial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \bigg) \bigg\} \bigg] dxdydz$$

$$= \bigg( - P \bigg( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial ... ...l x} + v \frac{\partial P}{\partial y} + w \frac{\partial P}{\partial z} \bigg)$$

$$+ \mu \bigg[ u \bigg\{ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + \fra... ... + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$+ v \bigg\{ \frac{\partial ^2 v}{\partial x^2 } + \frac{\partial ... ... + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$+ w \bigg\{ \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2 } + \frac{\partial ... ...\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \bigg] \bigg) dxdydz$$

$$= \bigg[ - \bigg( u \frac{\partial P}{\partial x} + v \frac{\partia... ...ial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)$$

$$+ \mu \bigg\{ u \bigg( \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + \fra... ...artial y^2 } + \frac{\partial ^2 w}{\partial z^2 } \bigg) \bigg\} \bigg] dxdydz$$

$$= \left\{ - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1}{3} ... ...u \bm{\nabla}^2 u + v \bm{\nabla}^2 v + w \bm{\nabla}^2 w \big) \right\} dxdydz$$

$$= \left\{ - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1}{3} ... ...bla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} \right\} dxdydz$$ (2.176)

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