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2.5.2.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

それぞれの面について、質量流量$\dot{m}$ [kg/s]の式(2.23)-(2.28)より以下が求まる。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\omega_{i,{x -}} \dot{m}_{x -}= \rho \omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz$$ (2.197)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\omega_{i,{x +}} \dot{m}_{x +}= \rho \omega_{i,x+dx} u_{x +}dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} + \left. \frac{\partial \omega_i}{... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \omega_{i,{x -}} \left. \... ...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \omega_{i,{x -}} \left. \... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.198)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\omega_{i,{y -}} \dot{m}_{y -}= \rho \omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx$$ (2.199)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\omega_{i,{y +}} \dot{m}_{y +}= \rho \omega_{i,y+dy} v_{y +}dzdx$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{y -}} v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.200)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\omega_{i,{z -}} \dot{m}_{z -}= \rho \omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy$$ (2.201)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\omega_{i,{z +}} \dot{m}_{z +}= \rho \omega_{i,z+dz} w_{z +}dxdy$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{z -}} w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.202)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が"対流による成分の質量の出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.198)$-$ 式(2.199)

$$\rho \omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz - \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x ... ...\frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.203)

$y$ 軸に垂直面

式(2.200)$-$ 式(2.201)

$$\rho \omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx - \rho \bigg( \omega_{i,{y -}} v_{y ... ...\frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.204)

$z$ 軸に垂直面

式(2.202)$-$ 式(2.203)

$$\rho \omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy - \rho \bigg( \omega_{i,{z -}} w_{z ... ...\frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.205)

xyz軸での出入の総和式(2.204)$+$ 式(2.205)$+$ 式(2.206)をとると、コントロールボリューム全体での対流による成分の質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \rho \dfrac{\partial (\omega_i u)}{\partial x} dxdydz - \rho \dfrac{\p... ... v)}{\partial y} dxdydz - \rho \dfrac{\partial (\omega_i w)}{\partial z} dxdydz$$

$$= - \rho \bigg( \omega_{i} \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \df... ...\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho \bigg\{ u \dfrac{\partial ... ... \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)}_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \omega_i dxdydz$$ (2.206)

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