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A.2 エネルギー保存式での計算の詳細

$$\rho \bm{v} \cdot \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\nabla} u \bm{v} \cdot \bm{\nabla} v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} w \end{array} \right)$$

$$= \rho \{ u ( \bm{v} \cdot \bm{\nabla}u) + v ( \bm{v} \cdot \bm{\nabla}v) + w ( \bm{v} \cdot \bm{\nabla}w) \}$$

$$= \rho \bigg\{ u \bigg( u \dfrac{\partial u}{\partial x} + v \dfrac... ...dfrac{\partial w}{\partial y} + w \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$= \frac{1} {2} \rho \bigg\{ 2 \bigg( u^2 \dfrac{\partial u}{\partia... ...rac{\partial v}{\partial z} + w^2 \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$= \frac{1} {2} \rho \bigg\{ u \bigg( 2 u \dfrac{\partial u}{\partia... ...rac{\partial v}{\partial z} + 2 w \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$= \frac{1} {2} \rho \bigg\{ u \bigg( \dfrac{\partial u^2 }{\partial... ...c{\partial v^2 }{\partial z} + \dfrac{\partial w^2 }{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$= \frac{1}{2} \rho \left( \begin{array}{c} u v w \end{arra... ...5 em} \dfrac{\partial }{\partial z} (u^2 + v^2 + w^2) \end{array} \right)$$

$$= \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v}^2)$$

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