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A.3 散逸エネルギー

2.4.4節のように、コントロールボリュームでの時間あたりの仕事は面に作用する力と流速の内積で表される。

$$\dfrac{\partial (\tau u)}{\partial y} = \tau \dfrac{\partial u}{\partial y} + u \dfrac{\partial \tau}{\partial y}$$

一項目 $\tau \dfrac{\partial u}{\partial y}$ は、応力と速度の変化量である。速度の変化量は垂直方向の変化なので、変形を表している。流体を変形させる仕事であるため、内部エネルギーに変換される。二項目 $u \dfrac{\partial \tau}{\partial y}$ は、応力の変化量と速度である。応力の変化で方向は変わらないため、流体を加速させる仕事となる。このように一項目は流体を変形させ粘性により熱となり内部エネルギーに変換される。これを散逸と呼ぶ。二項目は加速させる仕事で、運動エネルギーになる。

$$\bigg( - P \dfrac{\partial u}{\partial x} - P \dfrac{\partial v}{\partia... ...- v \dfrac{\partial P}{\partial y} - w \dfrac{\partial P}{\partial z} \nonumber$$

$$\underbrace{ + \tau_{xx} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \tau_{y... ...ial w}{\partial x} }_{粘性により熱へと変化するエネルギーを表す散逸項} \nonumber$$

$$\underbrace{ + u \dfrac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + v \dfra... ...au_{yz}}{\partial y} }_{加速され運動エネルギーとなる項} \bigg) dxdydz \nonumber$$

散逸項と加速項の$\tau$ に、それぞれ次式を代入する。

$$\left. \begin{array}{ccc} \tau_{xy} & = \tau_{yx} = & \mu \bigg( ... ...ial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x} \bigg) \end{array} \right\}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} \sigma_x & = & - P + \mu \bigg( 2 \dfra... ... \dfrac{2}{3} \nabla \cdot \bm{v} \bigg) = - P + \tau_{zz} \end{array} \right\}$$

散逸項のみを表すと次式となる。

$$\bigg( \tau_{xx} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \tau_{yy} \dfrac{\part... ...{\partial z} + \tau_{xz} \dfrac{\partial w}{\partial x} \bigg) dxdydz \nonumber$$

$$= \bigg\{ \mu \bigg( 2 \dfrac{\partial u}{\partial x} - \dfrac{2}{3... ...c{2}{3} \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \bigg) \frac{\partial w}{\partial z} \nonumber$$

$$+ \mu \bigg( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\p... ...}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \bigg)^2 \bigg\} dxdydz \nonumber$$

$$= \mu \bigg[ 2 \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} \bigg)^2 + 2 \... ...tial v}{\partial y} \bigg)^2 + 2 \bigg( \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)^2$$

$$- \dfrac{2}{3} \bigg\{ \dfrac{\partial u}{\partial x} \bigg( \dfr... ... \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$+ \bigg( \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\par... ...\partial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x} \bigg)^2 \bigg] dxdydz$$

$$= \mu \bigg[ \dfrac{2}{3} \bigg\{ 3 \bigg( \dfrac{\partial u}{\part... ...tial v}{\partial y} \bigg)^2 + 3 \bigg( \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)^2$$

$$- \dfrac{\partial u}{\partial x} \bigg( 2 \dfrac{\partial u}{\par... ... \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\}$$

$$+ \bigg( \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\par... ...\partial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x} \bigg)^2 \bigg] dxdydz$$

$$= \mu \bigg[ \dfrac{2}{3} \bigg\{ 2 \bigg( \dfrac{\partial u}{\part... ...al z} - 2 \dfrac{\partial w}{\partial z} \dfrac{\partial u}{\partial x} \bigg\}$$

$$+ \bigg( \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\par... ...\partial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x} \bigg)^2 \bigg] dxdydz$$

$$= \mu \bigg[ \dfrac{2}{3} \bigg\{ \underbrace{ \bigg( \dfrac{\parti... ...w}{\partial z} - \dfrac{\partial u}{\partial x} \bigg)^2 }_{流体の伸縮} \bigg\}$$

$$\underbrace{ + \bigg( \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\pa... ...c{\partial w}{\partial x} \bigg)^2 }_{流体の剪断変形（ずり変形）} \bigg] dxdydz$$

上式のように面に垂直な応力$\tau_{xx}$ 、$\tau_{yy}$ 、$\tau_{zz}$ の入った項は流体の伸縮となる。流体が伸縮することで変形し内部エネルギーへと変換される。面に平行な応力$\tau_{xy}$ 、$\tau_{yz}$ 、$\tau_{zx}$ の入った項は流体の剪断変形となる。流体が剪断変形することで内部エネルギーへと変形される。流体の収縮や剪断変形については杉山らの教科書[2]に分かりやすくまとめられている。

加速項のみを表すと次式となる。

$$\bigg( u \dfrac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + v \dfrac{\partial \tau... ...{\partial x} + w \dfrac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} \bigg) dxdydz \nonumber$$

$$= \bigg[ u \frac{\partial }{\partial x} \bigg\{ \mu \bigg( 2 \dfrac... ...w}{\partial z} - \dfrac{2}{3} \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \bigg) \bigg\} \nonumber$$

$$+ \mu u \bigg\{ \frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{\partia... ...partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \bigg) \bigg\} \nonumber$$

$$+ \mu w \bigg\{ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{\partia... ...rtial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \bigg) \bigg\} \bigg] dxdydz \nonumber$$

$$= \mu \bigg[ u \bigg\{ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + \frac{... ...partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \nonumber$$

$$+ v \bigg\{ \frac{\partial ^2 v}{\partial x^2 } + \frac{\partial ... ...partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \nonumber$$

$$+ w \bigg\{ \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2 } + \frac{\partial ... ...rtial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \bigg] dxdydz \nonumber$$

$$= \mu \bigg[ u \bigg\{ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + \frac{... ...partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \nonumber$$

$$+ v \bigg\{ \frac{\partial ^2 v}{\partial x^2 } + \frac{\partial ... ...partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \nonumber$$

$$+ w \bigg\{ \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2 } + \frac{\partial ... ...rtial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \bigg] dxdydz \nonumber$$

$$= \mu \bigg[ \bigg\{ \dfrac{1}{3} \bigg( u \dfrac{\partial }{\parti... ...artial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) \bigg\} \nonumber$$

$$+ \bigg\{ u \bigg( \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + \frac{\p... ... } + \frac{\partial ^2 w}{\partial z^2 } \bigg) \bigg\} \bigg] dxdydz \nonumber$$

$$= \mu \bigg\{ \dfrac{1}{3} \bm{v}\cdot \bm{\nabla} \big( \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \big) + \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} \bigg\} dxdydz$$

散逸についての詳細は日野の教科書[3]を参照すること。

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