3 経路積分

前節のように経路が単純な過程の組み合わせでない場合には、経路全体を積分し仕事を求める。積分するには経路を指定した経路積分が必要であり、計算の際には媒介変数が用いられる。媒介変数として時間

1s （単位：無次元） [s] を取り具体的な計算をしてみる。体積

は次式のように初め3.0 $\times$ 10 $^{-3}$ m

（3.0 リットル）で1 s毎に0.1 $\times$ 10 $^{-3}$ m

圧縮される。

$\displaystyle V$

$\displaystyle = 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3} - (0.1 \times 10^{-3} \; {\rm m^3/s}) t$

圧力

は1.0 $\times$ 10

Pa（約一気圧）から次式^脚注4のように増えていくとする。

$\displaystyle P$	$\displaystyle = \frac{1 \times 10^5 \text{ Pa} \times (3 \times 10^{-3} \; {\rm... ...{-(0.1 \times 10^{-3} \; {\rm m^3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{1.4}}$
	$\displaystyle \simeq 29.37 \; {\rm m^{4.2} \; Pa} \{-(0.1 \times 10^{-3} \; {\rm m^3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-1.4}$	(12)

式(11)に示すように

は

のみの一変数関数として表されている。

の

での微分を求める。

$\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$	$\displaystyle = - 0.1 \; {\rm m^3/s}$
$\displaystyle \mathrm{d}V$	$\displaystyle = - 0.1 \; {\rm m^3/s} \; \mathrm{d}t$	(13)

仕事の微小量を求める式(10)に式(12)と式(13)を代入して0 sから

f まで経路積分をする。経路中にされた仕事を求めたいので、0 sでの仕事は0 Jである。

$\displaystyle \int^{t=t_\text{f}}_{t=0} \delta W$	$\displaystyle = \int^{t=t_\text{f}}_{t=0} - P \mathrm{d}V \nonumber$
	$\displaystyle = \int^{t_\text{f}}_0 - [(29.37 \text{m$^{4.2}$\ Pa}) \; \{-(0.1 ... ... 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-1.4} ] (- 0.1 \; {\rm m^3/s} \; \mathrm{d}t)$
	$\displaystyle = \int^{t_\text{f}}_0 [(2.937 \text{ m$^{7.2}$\ Pa/s}) \; \{-(0.1... ...3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-1.4} ] \; {\rm m^3/s} \; \mathrm{d}t$
	$\displaystyle = \left[ \frac{2.937 \text{ m$^{7.2}$\ Pa/s}}{(-0.1 \times 10^{-3... ...; {\rm m^3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4} \right]^{t_\text{f}}_0$
	$\displaystyle = (73.425 \; {\rm m^{4.2} \; Pa}) [\{-(0.1 \times 10^{-3} \; {\rm... ...imes 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4} - \{ 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4}]$
	$\displaystyle \simeq (73.425 \; {\rm m^{4.2} \; Pa}) [\{-(0.1 \times 10^{-3} \;... ...})t_{\rm f} + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4} - 10.21 \; {\rm m^{-1.2}}]$