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3 経路積分

前節のように経路が単純な過程の組み合わせでない場合には、経路全体を積分し仕事を求める。積分するには経路を指定した経路積分が必要であり、計算の際には媒介変数が用いられる。 媒介変数として時間$ t$ 1s (単位:無次元) [s] を取り具体的な計算をしてみる。 体積$ V$ は次式のように初め3.0 $ \times$ 10$ ^{-3}$ m$ ^3$ (3.0 リットル)で1 s毎に0.1 $ \times$ 10$ ^{-3}$ m$ ^3$ 圧縮される。

$\displaystyle V$ $\displaystyle = 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3} - (0.1 \times 10^{-3} \; {\rm m^3/s}) t$ (11)

圧力$ P$ は1.0 $ \times$ 10$ ^5$ Pa(約一気圧)から次式脚注4のように増えていくとする。

$\displaystyle P$ $\displaystyle = \frac{1 \times 10^5 \text{ Pa} \times (3 \times 10^{-3} \; {\rm...
...{-(0.1 \times 10^{-3} \; {\rm m^3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{1.4}}$    
  $\displaystyle \simeq 29.37 \; {\rm m^{4.2} \; Pa} \{-(0.1 \times 10^{-3} \; {\rm m^3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-1.4}$ (12)

式(11)に示すように$ V$ $ t$ のみの一変数関数として表されている。$ V$ $ t$ での微分を求める。

$\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ $\displaystyle = - 0.1 \; {\rm m^3/s}$    
$\displaystyle \mathrm{d}V$ $\displaystyle = - 0.1 \; {\rm m^3/s} \; \mathrm{d}t$ (13)

仕事の微小量を求める式(10)に式(12)と式(13)を代入して0 sから $ t_$f まで経路積分をする。経路中にされた仕事を求めたいので、0 sでの仕事は0 Jである。

$\displaystyle \int^{t=t_\text{f}}_{t=0} \delta W$ $\displaystyle = \int^{t=t_\text{f}}_{t=0} - P \mathrm{d}V \nonumber$    
  $\displaystyle = \int^{t_\text{f}}_0 - [(29.37 \text{m$^{4.2}$\ Pa}) \; \{-(0.1 ...
... 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-1.4} ] (- 0.1 \; {\rm m^3/s} \; \mathrm{d}t)$    
  $\displaystyle = \int^{t_\text{f}}_0 [(2.937 \text{ m$^{7.2}$\ Pa/s}) \; \{-(0.1...
...3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-1.4} ] \; {\rm m^3/s} \; \mathrm{d}t$    
  $\displaystyle = \left[ \frac{2.937 \text{ m$^{7.2}$\ Pa/s}}{(-0.1 \times 10^{-3...
...; {\rm m^3/s})t + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4} \right]^{t_\text{f}}_0$    
  $\displaystyle = (73.425 \; {\rm m^{4.2} \; Pa}) [\{-(0.1 \times 10^{-3} \; {\rm...
...imes 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4} - \{ 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4}]$    
  $\displaystyle \simeq (73.425 \; {\rm m^{4.2} \; Pa}) [\{-(0.1 \times 10^{-3} \;...
...})t_{\rm f} + 3 \times 10^{-3} \; {\rm m^3}\}^{-0.4} - 10.21 \; {\rm m^{-1.2}}]$    

この変化を前節と同じように図2に表す。状態の変化に対して仕事が線で表される。
図 2: 媒介変数表示による仕事
\includegraphics[width=120mm]{figures/WorkCourse.eps}

脚注4 二原子分子の理想気体が可逆断熱変化したと仮定し、「$ PV^{1.4}=$ 一定」の関係を用いる。


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