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2.3.3.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

式(2.60)と式(2.61)から、それぞれの面に掛かる力を求める。力は外への方向が正となっている。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x -}} dydz \tau_{xy, {x -}... ...c{\partial w}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) \end{array} \right) dydz$$ (2.61)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x +}} dydz \tau_{xy, {x +}... ...rtial x} \right\vert _ {{x +}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \bigg( P_{x -} + \left. \dfrac{\parti... ...ight\vert _ {{x -}} \bigg) dx \bigg\} \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$ (2.62)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y -}} dzdx \vspace{.5em} \s... ...c{\partial w}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) \end{array} \right) dzdx$$ (2.63)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y +}} dzdx \vspace{.5em} \s... ...rtial y} \right\vert _ {{y +}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dzdx$$

$$= \left( \begin{array}{c} \mu \bigg\{ \bigg( \left. \dfrac{\parti... ...ight\vert _ {{y -}} \bigg) dy \bigg\} \vspace{.5em} \end{array} \right) dzdx$$ (2.64)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z -}} dxdy \vspace{.5em} \t... ...} - \dfrac{2}{3} \nabla \cdot \bm{v}_{{z -}} \bigg) \end{array} \right) dxdy$$ (2.65)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z +}} dxdy \vspace{.5em} \t... ...3} \nabla \cdot \bm{v}_{{z +}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdy$$

$$= \left( \begin{array}{c} \mu \bigg\{ \bigg( \left. \dfrac{\parti... ...cdot \bm{v}_{{z -}} \bigg) dz \bigg\} \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdy$$ (2.66)

コントロールボリュームから出る方向に働く力が正としているので、符号をあわせ$xyz$ 軸に垂直な面それぞれを足し合わせ、その和が“表面に作用する力"となる。

$x$ 軸に垂直面

$-$ 式(2.62)$+$ 式(2.63)

$$\left( \begin{array}{c} - \sigma_{x, {x -}} + \sigma_{x, {x +}} \... ...xy, {x +}} - \tau_{xz, {x -}} + \tau_{xz, {x +}} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left\{ - P_{x -}+ \mu \bigg( 2 \left... ...t _ {{x -}} \bigg) dx \bigg\} \right] \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left. \dfrac{\partial P}{\partial x}... ...al x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dx \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left. \dfrac{\partial P}{\partial x}... ...ial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.67)

$y$ 軸に垂直面

$-$ 式(2.64)$+$ 式(2.65)

$$\left( \begin{array}{c} - \tau_{yx, {y -}} + \tau_{yx, {y +}} ... ...ial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.68)

$z$ 軸に垂直面

$-$ 式(2.66)$+$ 式(2.67)

$$\left( \begin{array}{c} - \tau_{zx, {z -}} + \tau_{zx, {z +}} ... ... \nabla \cdot \bm{v}_{{z -}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.69)

xyz軸での出入の総和式(2.68)$+$ 式(2.69)$+$ 式(2.70)をとると、コントロールボリューム全体での表面に作用する力が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$\left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu \d... ...ac{2}{3} \nabla \cdot \bm{v} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu ... ...frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu ... ...big( \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \big) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \bigg[ - \bm{\nabla} P + \mu \bigg\{ \bm{\nabla}^2 \bm{v} + \dfrac{1}{3} \bm{\nabla} (\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) \bigg\} \bigg] dxdydz$$ (2.70)

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