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2.3.3.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

密度変化を考慮しないため、質量保存式（連続の式(2.34)）より $\nabla \cdot \bm{v} = \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} = 0$ となり、式(2.60)は次のように表される。

$$\left. \begin{array}{ccc} \sigma_x & = & - P + 2 \mu \dfrac{\part... ... \sigma_z & = & - P + 2 \mu \dfrac{\partial w}{\partial z} \end{array} \right\}$$ (2.71)

$\sigma$ の式(2.72)と$\tau$ の式(2.61)から、それぞれの面に掛かる力を求める。力は外への方向が正となっている。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x -}} dydz \tau_{xy, {x -}... ...c{\partial w}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) \end{array} \right) dydz$$ (2.72)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x +}} dydz \tau_{xy, {x +}... ...rtial x} \right\vert _ {{x +}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \bigg( P_{x -} + \left. \dfrac{\parti... ...x^2 } \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$ (2.73)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y -}} dzdx \vspace{.5em} \s... ...c{\partial w}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) \end{array} \right) dzdx$$ (2.74)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y +}} dzdx \vspace{.5em} \s... ...rtial y} \right\vert _ {{y +}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dzdx$$

$$= \left( \begin{array}{c} \mu \bigg( \left. \dfrac{\partial u}{\p... ...y^2 } \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dzdx$$ (2.75)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z -}} dxdy \vspace{.5em} \t... ...dfrac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \end{array} \right) dxdy$$ (2.76)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z +}} dxdy \vspace{.5em} \t... ... w}{\partial z} \right\vert _ {{z +}} \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdy$$

$$= \left( \begin{array}{c} \mu \bigg( \left. \dfrac{\partial u}{\p... ...z^2 } \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdy$$ (2.77)

コントロールボリュームから出る方向に働く力が正としているので、符号をあわせ$xyz$ 軸に垂直な面それぞれを足し合わせ、その和が“表面に作用する力"となる。

$x$ 軸に垂直面

$-$ 式(2.73)$+$ 式(2.74)

$$\left( \begin{array}{c} - \sigma_{x, {x -}} + \sigma_{x, {x +}} \... ...xy, {x +}} - \tau_{xz, {x -}} + \tau_{xz, {x +}} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left\{ - P_{x -}+ 2 \mu \left. \dfra... ...ght\vert _ {{x -}} dx \bigg) \right\} \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left. \dfrac{\partial P}{\partial x}... ...artial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dx \vspace{.5em} \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left. \dfrac{\partial P}{\partial x}... ... x^2 } \right\vert _ {{x -}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.78)

$y$ 軸に垂直面

$-$ 式(2.75)$+$ 式(2.76)

$$\left( \begin{array}{c} - \tau_{yx, {y -}} + \tau_{yx, {y +}} ... ... y^2 } \right\vert _ {{y -}} \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.79)

$z$ 軸に垂直面

$-$ 式(2.77)$+$ 式(2.78)

$$\left( \begin{array}{c} - \tau_{zx, {z -}} + \tau_{zx, {z +}} ... ...partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.80)

xyz軸での出入の総和式(2.79)$+$ 式(2.80)$+$ 式(2.81)をとると、コントロールボリューム全体での表面に作用する力が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$\left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + 2 \mu ... ...dfrac{\partial ^2 w}{\partial z^2 } \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu ... ...partial ^2 w}{\partial z^2 } \bigg) \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu ... ... \bm{v} \big) + \mu \bm{\nabla}^2 w \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \left\{ - \bm{\nabla} P + \mu \bm{\nabla} (\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) + \mu \bm{\nabla}^2 \bm{v} \right\} dxdydz$$

非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）では、式(2.34)より $\bm{\nabla} \cdot \bm{v} = 0$ であるので、次式となる。

$$\left( - \bm{\nabla} P + \mu \bm{\nabla}^2 \bm{v} \right) dxdydz$$ (2.81)

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