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2.4.2.3 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流によるそれぞれの面での運動エネルギーの出入について、式（2.92）の質量流量$\dot{m}$ [kg/s]へ式（2.23）-（2.28）を代入すると次のようになる。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}^2 = \frac{1} {2} \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 dydz$$ (2.104)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{x +}\bm{v}_{x +}^2 = \frac{1}{2} \rho u_{x +}\bm{v}_{x +}^2 dydz$$

$$= \frac{1} {2} \rho \left( u_{x -} + \left. \frac{\partial u}{\part... ...ft. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \right)^2 dydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg\{ \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 + 2 \rho u_{x -}\b... ...ho \bm{v}_{x -}^2 \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$$

$$\underbrace{ + \rho u_{x -}\bigg( \left. \frac{\partial \bm{v}}{\... ...}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg)^2 dx^3 }_{十分に小さいため無視する}$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 + \rho \left. \dfrac{\partial (u \bm{v}^2)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.105)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}^2 = \frac{1}{2} \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}^2 dzdx$$ (2.106)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y +}\bm{v}_{y +}^2 = \frac{1}{2} \rho v_{y +}\bm{v}_{y +}^2 dzdx$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}^2 + \rho \left. \dfrac{\partial (v \bm{v}^2)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.107)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}^2 = \frac{1}{2} \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}^2 dxdy$$ (2.108)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z +}\bm{v}_{z +}^2 = \frac{1}{2} \rho w_{z +}\bm{v}_{z +}^2 dxdy$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}^2 + \rho \left. \dfrac{\partial (w \bm{v}^2)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.109)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“対流による運動エネルギーの出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.105)$-$ 式(2.106)

$$\frac{1}{2} \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 dydz - \frac{1}{2} \bigg( \rho u_{x -}\bm{v... ... \dfrac{\partial (u \bm{v}^2)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \left. \frac{\partial \left( u \bm{v}^2 \right)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydx$$ (2.110)

$y$ 軸に垂直面

式(2.107)$-$ 式(2.108)

$$\frac{1}{2} \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}^2 dzdx - \frac{1}{2} \bigg( \rho v_{y -}\bm{v... ... \dfrac{\partial (v \bm{v}^2)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \left. \frac{\partial \left( v \bm{v}^2 \right)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydx$$ (2.111)

$z$ 軸に垂直面

式(2.109)$-$ 式(2.110)

$$\frac{1}{2} \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}^2 dxdy - \frac{1}{2} \bigg( \rho w_{z -}\bm{v... ... \dfrac{\partial (w \bm{v}^2)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \left. \frac{\partial \left( w \bm{v}^2 \right)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydx$$ (2.112)

xyz軸での出入の総和式(2.111)$+$ 式(2.112)$+$ 式(2.113)をとると、コントロールボリューム全体での対流による運動エネルギーの出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \frac{1} {2} \rho \bigg( \dfrac{\partial \left( u \bm{v}^2 \right)}{\partial x} + \... ...rtial y} + \dfrac{\partial \left( w \bm{v}^2 \right)}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \bigg( \dfrac{\partial (u u^2 )}{\partial x} ... ...+ \dfrac{\partial (v v^2 )}{\partial y} + \dfrac{\partial (v w^2 )}{\partial y}$$

$$+ \dfrac{\partial (w u^2 )}{\partial z} + \dfrac{\partial (w v^2 )}{\partial z} + \dfrac{\partial (w w^2 )}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \bigg( u \dfrac{\partial u^2 }{\partial x} + ... ...l x} + u \dfrac{\partial w^2 }{\partial x} + w^2 \dfrac{\partial u}{\partial x}$$

$$+ v \dfrac{\partial u^2 }{\partial y} + u^2 \dfrac{\partial v}{\p... ...l y} + v \dfrac{\partial w^2 }{\partial y} + w^2 \dfrac{\partial v}{\partial y}$$

$$+ w \dfrac{\partial u^2 }{\partial z} + u^2 \dfrac{\partial w}{\p... ...c{\partial w^2 }{\partial z} + w^2 \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \bigg\{ u \bigg( \dfrac{\partial u^2 }{\parti... ... + \dfrac{\partial v^2 }{\partial z} + \dfrac{\partial w^2 }{\partial z} \bigg)$$

$$+ u^2 \underbrace{\bigg( \dfrac{\pa... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydx$$

$$= - \frac{1}{2} \rho \bigg\{ u \dfrac{\partial (\bm{v}^2)}{\partial... ...m{v}^2)}{\partial y} + w \dfrac{\partial (\bm{v}^2)}{\partial z} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v}^2) dxdydz$$ (2.113)

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