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2.4.2.5 圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は変化する)

対流によるそれぞれの面での位置エネルギーの出入について、式(2.93)の質量流量$ \dot{m}$ [kg/s]へ式(2.13)-(2.18)を代入すると次のようになる。その際、展開後に微分の四乗となる項 $ (dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \dot{m}_{x -}g \left( y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{x -}g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$ (2.114)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \dot{m}_{x +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) =$ $\displaystyle \rho_{x +}g u_{x +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle g \left( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \ri...
...tial x} \right\vert _ {{x -}} d x \right) \left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle g \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + \rho...
... dx + u_{x -}y \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$    
  $\displaystyle \underbrace{+ \frac{1}{2} \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\par...
... \bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg\} dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle g \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + y \left. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$ (2.115)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{y -}g y = \rho_{y -}g v_{y -}y dzdx$ (2.116)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{y +}g (y + dy) =$ $\displaystyle \rho_{y +}g v_{y +}( y + dy ) dzdx$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle g \left( \rho_{y -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \ri...
...\frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \right) ( y + dy ) dzdx$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \rho_{y -}v_{y -}dy + \rho_{y -}y \...
... dy + v_{y -}y \left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy$    
  $\displaystyle \underbrace{+ \rho_{y -}\left. \frac{\partial v}{\partial y} \rig...
...\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy^3 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dzdx$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + y \left. \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy + \rho_{y -}v_{y -}dy \bigg) dzdx$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$ (2.117)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle \dot{m}_{z -}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{z -}g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$ (2.118)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle \dot{m}_{z +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right)$ $\displaystyle = \rho_{z +}g w_{z +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$    
  $\displaystyle = g \bigg\{ \rho_{z -}w_{z -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + y \left. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$ (2.119)

$ xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“対流による位置エネルギーの出入"になる。

$ x$ 軸に垂直面
式(2.115)$ -$ 式(2.116)

$\displaystyle \rho_{x -}$ $\displaystyle g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz - g \bigg\{ \rho_{...
...eft. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$    
  $\displaystyle = - g y \left. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$ (2.120)

$ y$ 軸に垂直面
式(2.117)$ -$ 式(2.118)

$\displaystyle \rho_{y -}$ $\displaystyle g v_{y -}y dzdx - g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = - g \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$ (2.121)

$ z$ 軸に垂直面
式(2.119)$ -$ 式(2.120)

$\displaystyle \rho_{z -}$ $\displaystyle g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy - g \bigg\{ \rho_{...
...eft. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$    
  $\displaystyle = - g y \left. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$ (2.122)

xyz軸での出入の総和式(2.121)$ +$ 式(2.122)$ +$ 式(2.123)をとると、コントロールボリューム全体での対流による位置エネルギーの出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.[*])。

  $\displaystyle - g \bigg( y \dfrac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \dfrac{\part...
...(\rho v y)}{\partial y} + y \dfrac{\partial (\rho w)}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = - g \bigg( \rho y \dfrac{\partial u}{\partial x} + u y \dfrac{\...
...c{\partial w}{\partial z} + w y \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = - g \bigg\{ \rho y \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfr...
...\rho}{\partial z} \bigg) + \rho v \dfrac{\partial y}{\partial y} \bigg\} dxdydz$    
  $\displaystyle = - g ( \rho y \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + y \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho + \rho v ) dxdydz$    
  $\displaystyle = - ( g y \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) + \rho g v ) dxdydz$ (2.123)
  $\displaystyle = - g \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v} y) dxdydz$    


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