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2.4.2.5 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

対流によるそれぞれの面での位置エネルギーの出入について、式（2.93）の質量流量$\dot{m}$ [kg/s]へ式（2.13）-（2.18）を代入すると次のようになる。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}g \left( y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{x -}g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$ (2.114)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{x +}g u_{x +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= g \left( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \ri... ...tial x} \right\vert _ {{x -}} d x \right) \left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= g \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + \rho... ... dx + u_{x -}y \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$$

$$\underbrace{+ \frac{1}{2} \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\par... ... \bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg\} dydz$$

$$= g \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + y \left. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$ (2.115)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}g y = \rho_{y -}g v_{y -}y dzdx$$ (2.116)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}g (y + dy) = \rho_{y +}g v_{y +}( y + dy ) dzdx$$

$$= g \left( \rho_{y -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \ri... ...\frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \right) ( y + dy ) dzdx$$

$$= g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \rho_{y -}v_{y -}dy + \rho_{y -}y \... ... dy + v_{y -}y \left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy$$

$$\underbrace{+ \rho_{y -}\left. \frac{\partial v}{\partial y} \rig... ...\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy^3 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dzdx$$

$$= g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + y \left. \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy + \rho_{y -}v_{y -}dy \bigg) dzdx$$

$$= g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.117)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{z -}g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$ (2.118)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{z +}g w_{z +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$

$$= g \bigg\{ \rho_{z -}w_{z -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + y \left. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$ (2.119)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“対流による位置エネルギーの出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.115)$-$ 式(2.116)

$$\rho_{x -} g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz - g \bigg\{ \rho_{... ...eft. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$

$$= - g y \left. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.120)

$y$ 軸に垂直面

式(2.117)$-$ 式(2.118)

$$\rho_{y -} g v_{y -}y dzdx - g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - g \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.121)

$z$ 軸に垂直面

式(2.119)$-$ 式(2.120)

$$\rho_{z -} g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy - g \bigg\{ \rho_{... ...eft. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$

$$= - g y \left. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.122)

xyz軸での出入の総和式(2.121)$+$ 式(2.122)$+$ 式(2.123)をとると、コントロールボリューム全体での対流による位置エネルギーの出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- g \bigg( y \dfrac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \dfrac{\part... ...(\rho v y)}{\partial y} + y \dfrac{\partial (\rho w)}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - g \bigg( \rho y \dfrac{\partial u}{\partial x} + u y \dfrac{\... ...c{\partial w}{\partial z} + w y \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - g \bigg\{ \rho y \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfr... ...\rho}{\partial z} \bigg) + \rho v \dfrac{\partial y}{\partial y} \bigg\} dxdydz$$

$$= - g ( \rho y \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + y \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho + \rho v ) dxdydz$$

$$= - ( g y \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) + \rho g v ) dxdydz$$ (2.123)

$$= - g \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v} y) dxdydz$$

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