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2.4.2.6 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流によるそれぞれの面での位置エネルギーの出入について、式（2.93）の質量流量$\dot{m}$ [kg/s]へ式（2.23）-（2.28）を代入すると次のようになる。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}g \left( y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$ (2.124)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g u_{x +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= \rho g \left( u_{x -} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \right) \left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= \rho g \bigg\{ u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) + y \lef... ...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdy}_{十分に小さいため無視する} \bigg\} dydz$$

$$= \rho g \bigg\{ u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) + y \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$ (2.125)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}g y = \rho g v_{y -}y dzdx$$ (2.126)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}g (y + dy) = \rho g v_{y +}( y + dy ) dzdx$$

$$= \rho g \left( v_{y -} + \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \right) ( y + dy ) dzdx$$

$$= \rho g \bigg( v_{y -}y + y \left. \frac{\partial v}{\partial y}... ...{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy^2}_{十分に小さいため無視する} \bigg) dzdx$$

$$= \rho g \bigg( v_{y -}y + \left. \frac{\partial (vy)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.127)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$ (2.128)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g w_{z +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$

$$= \rho g \bigg\{ w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) + y \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$ (2.129)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“対流による位置エネルギーの出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.125)$-$ 式(2.126)

$$\rho g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz - \rho g \bigg\{ u... ... + y \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$

$$= - \rho g y \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.130)

$y$ 軸に垂直面

式(2.127)$-$ 式(2.128)

$$\rho g v_{y -}y dzdx - \rho g \bigg( v_{y -}y + \left. \frac{\partial (vy)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \rho g \left. \frac{\partial (vy)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.131)

$z$ 軸に垂直面

式(2.129)$-$ 式(2.130)

$$\rho g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy - \rho g \bigg\{ w... ... + y \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$

$$= - \rho g y \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.132)

xyz軸での出入の総和式(2.131)$+$ 式(2.132)$+$ 式(2.133)をとると、コントロールボリューム全体での対流による位置エネルギーの出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \rho g \bigg( y \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial (vy)}{\partial y} + y \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho g \bigg( y \dfrac{\partial u}{\partial x} + v \dfrac{\pa... ...\dfrac{\partial v}{\partial y} + y \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho g \bigg\{ v \dfrac{\partia... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \rho g v dxdydz$$

$$= \rho \bm{g} \cdot \bm{v} dxdydz$$ (2.133)

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