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2.4.2.8 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

対流による内部エネルギーの出入について、それぞれの面に、式（2.94）の質量流量$\dot{m}$ [kg/s]へ式（2.13）-（2.18）を代入する。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}c_v T_{x -}= \rho_{x -}c_v T_{x -}u_{x -}dydz$$ (2.134)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +} c_v T_{x +}= \rho_{x +}c_v T_{x +}u_{x +}dydz$$

$$= c_v \bigg( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}+ \rho_{x -}T_{x -}\left. \fra... ...\partial T}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する}$$

$$\underbrace{ + T_{x -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \ri... ...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^3 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$

$$= c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}+ \rho_{x -}T_{x -}\left. \fra... ... -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\rho T u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.135)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}c_v T_{y -}= \rho_{y -}c_v T_{y -}v_{y -}dzdx$$ (2.136)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +} c_v T_{y +}= \rho_{y +}c_v T_{y +}v_{y +}dzdx$$

$$= c_v \bigg( \rho_{y -}T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\rho T v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.137)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}c_v T_{z -}= \rho_{z -}c_v T_{z -}w_{z -}dxdy$$ (2.138)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +} c_v T_{z +}= \rho_{z +}c_v T_{z +}w_{z +}dxdy$$

$$= c_v \bigg( \rho_{z -}T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\rho T w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.139)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“対流による内部エネルギーの出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.135)$-$ 式(2.136)

$$\rho_{x -} c_v T_{x -}u_{x -}dydz - c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\rho T u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - c_v \left. \frac{\partial (\rho T u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.140)

$y$ 軸に垂直面

式(2.137)$-$ 式(2.138)

$$\rho_{y -} c_v T_{y -}v_{y -}dzdx - c_v \bigg( \rho_{y -}T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\rho T v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - c_v \left. \frac{\partial (\rho T v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.141)

$z$ 軸に垂直面

式(2.139)$-$ 式(2.140)

$$\rho_{z -} c_v T_{z -}w_{z -}dxdy - c_v \bigg( \rho_{z -}T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\rho T w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - c_v \left. \frac{\partial (\rho T w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.142)

xyz軸での出入の総和式(2.141)$+$ 式(2.142)$+$ 式(2.143)をとると、コントロールボリューム全体での対流による内部エネルギーの出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- c_v \bigg( \dfrac{\partial (\rho Tu)}{\partial x} + \dfrac{\partial (\rho Tv)}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho Tw)}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - c_v \bigg( \rho T \dfrac{\partial u}{\partial x} + \rho u \df... ...c{\partial T}{\partial z} + T w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - c_v \bigg\{ \rho T \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \d... ...l \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydz$$

$$= - c_v ( \rho T \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla}T + T \bm{v} \cdot \bm{\nabla}\rho ) dxdydz$$

$$= - c_v \bm{\nabla} \cdot (\rho T \bm{v}) dxdydz$$ (2.143)

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