• 学問 -top-

2.4.2.9 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流による内部エネルギーの出入について、それぞれの面に、式（2.94）の質量流量$\dot{m}$ [kg/s]へ式（2.23）-（2.28）を代入する。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}c_v T_{x -}= \rho c_v T_{x -}u_{x -}dydz$$ (2.144)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}c_v T_{x +} = \rho c_v T_{x +}u_{x +}dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -} + \left. \frac{\partial T}{\partial x} ... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ T_{x -}\left. \frac{\partial u}... ...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ T_{x -}\left. \frac{\partial u}... ..._{x -}\left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.145)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}c_v T_{y -}= \rho c_v T_{y -}v_{y -}dzdx$$ (2.146)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}c_v T_{y +} = \rho c_v T_{y +}v_{y +}dzdx$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.147)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}c_v T_{z -}= \rho c_v T_{z -}w_{z -}dxdy$$ (2.148)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +}c_v T_{z +} = \rho c_v T_{z +}w_{z +}dxdy$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.149)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“対流による内部エネルギーの出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.145)$-$ 式(2.146)

$$\rho c_v T_{x -}u_{x -}dydz - \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.150)

$y$ 軸に垂直面

式(2.147)$-$ 式(2.148)

$$\rho c_v T_{y -}v_{y -}dzdx - \rho c_v \bigg( T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.151)

$z$ 軸に垂直面

式(2.149)$-$ 式(2.150)

$$\rho c_v T_{z -}w_{z -}dxdy - \rho c_v \bigg( T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.152)

xyz軸での出入の総和式(2.151)$+$ 式(2.152)$+$ 式(2.153)をとると、コントロールボリューム全体での対流による内部エネルギーの出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \rho c_v \bigg( \dfrac{\partial (Tu)}{\partial x} + \dfrac{\partial (Tv)}{\partial y} + \dfrac{\partial (Tw)}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho c_v \bigg( T \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \dfrac{\... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial T}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho c_v \bigg\{ u \dfrac{\part... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz$$ (2.153)

• 学問 -top-

この図を含む文章の著作権は著者にあり、クリエイティブ・コモンズ 表示 - 非営利 - 改変禁止 3.0 非移植 ライセンスの下に公開する。