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2.2.2.2 非圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は一定)

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.16) $ ^{\text{p.\pageref{eq-mass-adv}}}$ に示すように質量流量$ \dot{m}$ [kg/s] であり、速度ベクトル $ \bm{v}=(u, v, w)$ [m/s]と面積ベクトル(式(2.5)-式(2.10) $ ^{\text{p.\pageref{eq-Areax}}}$ 、密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]によりそれぞれの面で次のように表される。途中で相対する面の関係を式(2.11) $ ^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。
$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \dot{m}_{x -}= \rho \bm{v}_{x -}\cdot \bm{A}_{x -}= \rho u_{x -}dydz$ (2.26)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \dot{m}_{x +}= \rho \bm{v}_{x +}\cdot \bm{A}_{x +}= \rho u_{x +}d...
...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$ (2.27)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{y -}= \rho \bm{v}_{y -}\cdot \bm{A}_{y -}= \rho v_{y -}dzdx$ (2.28)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{y +}= \rho \bm{v}_{y +}\cdot \bm{A}_{y +}= \rho v_{y +}d...
...-} + \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \bigg) dzdx$ (2.29)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle \dot{m}_{z -}= \rho \bm{v}_{z -}\cdot \bm{A}_{z -}= \rho w_{z -}dxdy$ (2.30)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle \dot{m}_{z +}= \rho \bm{v}_{z +}\cdot \bm{A}_{z +}= \rho w_{z +}d...
...-} + \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} d z \bigg) dxdy$ (2.31)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$ xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる2.72.1.6 $ ^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ )。
$ x$ 軸に沿った出入
式(2.27)$ -$ 式(2.28)

$\displaystyle - \rho \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$ (2.32)

$ y$ 軸に沿った出入
式(2.29)$ -$ 式(2.30)

$\displaystyle - \rho \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$ (2.33)

$ z$ 軸に沿った出入
式(2.31)$ -$ 式(2.32)

$\displaystyle - \rho \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$ (2.34)

xyz軸での出入の総和、式(2.33)$ +$ 式(2.34)$ +$ 式(2.35)をとると、コントロールボリューム全体での対流による質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7 $ ^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )。

$\displaystyle - \rho \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}...
...{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydz = - \rho \bm{\nabla} \cdot \bm{v} dxdydz$ (2.35)


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