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2.2.2.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.16) $^{\text{p.\pageref{eq-mass-adv}}}$ に示すように質量流量$\dot{m}$ [kg/s] であり、速度ベクトル $\bm{v}=(u, v, w)$ [m/s]と面積ベクトル(式(2.5)-式(2.10) $^{\text{p.\pageref{eq-Areax}}}$ 、密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]によりそれぞれの面で次のように表される。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}= \rho \bm{v}_{x -}\cdot \bm{A}_{x -}= \rho u_{x -}dydz$$ (2.26)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}= \rho \bm{v}_{x +}\cdot \bm{A}_{x +}= \rho u_{x +}d... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$ (2.27)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}= \rho \bm{v}_{y -}\cdot \bm{A}_{y -}= \rho v_{y -}dzdx$$ (2.28)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}= \rho \bm{v}_{y +}\cdot \bm{A}_{y +}= \rho v_{y +}d... ...-} + \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \bigg) dzdx$$ (2.29)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}= \rho \bm{v}_{z -}\cdot \bm{A}_{z -}= \rho w_{z -}dxdy$$ (2.30)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +}= \rho \bm{v}_{z +}\cdot \bm{A}_{z +}= \rho w_{z +}d... ...-} + \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} d z \bigg) dxdy$$ (2.31)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.7（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.27)$-$ 式(2.28)

$$- \rho \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.32)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.29)$-$ 式(2.30)

$$- \rho \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.33)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.31)$-$ 式(2.32)

$$- \rho \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.34)

xyz軸での出入の総和、式(2.33)$+$ 式(2.34)$+$ 式(2.35)をとると、コントロールボリューム全体での対流による質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )。

$$- \rho \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}... ...{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydz = - \rho \bm{\nabla} \cdot \bm{v} dxdydz$$ (2.35)

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