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A..3 自然対数の底

自然対数の底$e$ の定義を確認する。自然対数の底である$e$ は、微分しても元の関数と同じ形になる次式が成り立つ定数$a$ を$e$ としている。

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x = a^x$$ (15)

式(15)の左辺を微分の定義に沿って計算する。

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$$

定式から式(15)が成り立つには次式(16)の関係が成り立てば良い。この次式(16)を変形し$a$ の値を求める。

$$\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = 1$$ (16)

$$\lim_{h \to 0} \frac{h}{a^h - 1} = 1 h = \log_a (1+k) h \to 0 k \to 0 \log a^h = 1 + k$$

$$\lim_{k \to 0} \frac{\log_a (1+k)}{k} = 1$$

$$\lim_{k \to 0} \log_a (1+k)^\frac{1}{k} = 1$$

$$\lim_{k \to 0} (1+k)^\frac{1}{k} = a$$ (17)

上式(17)の条件を満たす定数$a$ が$e$ である。$e$ の式として再度示す。

$$e = \lim_{k \to 0} (1+k)^\frac{1}{k}$$

上式で$k=1/m$ （ $m \to \infty$ ）とすれば次のようにも表される。

$$e = \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m} \right)^m$$ (18)

$m$ に対する$(1+1/m)^m$ のグラフを図13に示す。グラフの範囲では$m$ が大きくなると2.7より少し上に収束するように見える。

図 13: $e$ の収束

式(18)が収束するか確認する。そのために数列 $a_n = (1+1/n)^n$ の極限を求める。この極限が収束すれば式(18)も収束する。

$$a_n = \left( a + \frac{1}{n} \right)^n$$

$$= \sum^n_{p=0}\left({}_n \mathrm{C}_p \frac{1}{n^p} \right)$$

$$= \sum^n_{p=0}\left(\frac{n!}{p!(n-p)!} \frac{1}{n^p} \right) n! (n-p)!$$

$$= 1 + \frac{n}{1!}\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2} + ... ...{p!}\frac{1}{n^p} + \cdots + \frac{n(n-1)\cdots\times2\times1}{n!}\frac{1}{n^n}$$

$$= 1 + \frac{1}{1!}\frac{n}{n} + \frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2} + ... ...\{n-(p-1)\}}{n^p} + \cdots + \frac{1}{n!}\frac{n(n-1)\cdots\times2\times1}{n^n}$$

$$= 1 + \frac{1}{1!}\frac{n-0}{n} + \frac{1}{2!}\frac{n-0}{n}\frac{... ...\cdots + \frac{1}{p!}\frac{n-0}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-(p-1)}{n} + \cdots$$

$$\hspace{20mm} + \frac{1}{n!}\frac{n}{n}\frac{(n-1)}{n}\cdots\frac{n-(n-2)}{n}\frac{n-(n-1)}{n}$$

$$= 1 + \frac{1}{1!}\left(1-\frac{0}{n}\right) + \frac{1}{2!}\left(... ...{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{p-1}{n}\right) + \cdots$$

$$\hspace{20mm} + \frac{1}{n!}\left(1-\frac{0}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-2}{n}\right)\left(1-\frac{n-1}{n}\right)$$ (19)

上式(19)より$a_n$ の各項は$n$ と共に単調に増加し、全ての項が正であるので、$a_n$ は単調に増加する。次に$a_n$ が上に有界であることを示す。 式(19)で$1/1!$ 、$1/2!$ 、・・・、$1/p!$ 、・・・、$1/n!$ と掛けあわせている$(1-0/n)$ 、 $(1-0/n)(1-1/n)$ 、・・・、 $(1-0/n)(1-1/n)\cdots\{1-(p-1)/n\}$ 、・・・、 $(1-0/n)(1-1/n)\cdots\{1-(n-2)/n\}\{1-(n-1)/n\}$ の $\{1-(p-1)/n\}$ のような各括弧内は1から1よりも小さい正数を引いているので1以下の値となる。この1以下の値を掛けているのでため、各項の値はそれぞれ$1/1!$ 、$1/2!$ 、・・・、$1/p!$ 、・・・、$1/n!$ よりも小さい。各項の和である$a_n$ も$1/1!$ 、$1/2!$ 、・・・、$1/p!$ 、・・・、$1/n!$ の和よりも小さくなるため次のように書ける。

$$a_n \leq 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$$ (20)

$3!=3\times2\times1=3\times2>2\times2=2^2$ 、 $4!=4\times3\times2\times1=4\times3\times2>2\times2\times2=2^3$ 、 $p!=p(p-1)(p-2)\cdots3\times2>2^{p-1}$ であるので、その逆数の関係と式(20)より次式が成り立つ。

$$a_n \leq 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}$$

$$= 1 + \dfrac{1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n}{1 - \dfrac{1}{2}}$$

$$= 1 + 2 \bigg\{ 1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n \bigg\}$$

$$= 3 - \frac{1}{2^{n-1}}$$

$$< 3$$

以上より$a_n$ が上に有界であると示すことが出来た。$a_n$ は単調に増加し上に有界であるので、極限はある値に収束する。よって式(18)で表される$e$ も収束する。

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