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2.1.2 線形-対数 片対数グラフ

$y$ 軸が対数の片対数グラフでは図8のようになる。

図 8: 片対数グラフ

線形の式(2)を変形する。$y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 90 x + 500$$

$$10 ^Y = 90 x + 500$$

$$\log_{10} 10 ^Y = \log_{10} (90x + 500)$$

$$Y = \log_{10} 90 + \log_{10} (x + 500/90)$$

$$Y \simeq 1.954 + \log_{10} (x + 5.556)$$

$Y$ と$x$ は対数関数に近い形となり、図8の線形関数を表す黒線は線形-線形グラフ（図7）の対数関数（緑線）と近い上に凸の曲線になっている。

べき関数の式(3)を変形する。$y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 0.8 x ^2$$

$$10 ^Y = 0.8 x ^2$$

$$Y = 2 \log_{10} \vert x\vert + \log_{10} 0.8$$

$$Y \simeq 2 \log_{10} \vert x\vert - 0.09691$$

$Y$ と$x$ は対数関数となり、図8のべき関数を表す赤線は線形-線形グラフ（図7）の対数関数（緑線）と近い上に凸の曲線になっている。

指数関数の式(4)を変形する。$y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 0.9 \times 1.1^x$$

$$10 ^Y = 0.9 \times 1.1^x$$

$$Y = x \log_{10} 1.1 + \log_{10} 0.9$$

$$Y \simeq 4.139 \times 10^{-2} x - 0.04575$$

$Y$ と$x$ が線形の式となっているので、図8の指数関数を表す青線は直線となっている。縦軸は対数であるので、10倍になると$Y$ が1増加する。変換後の式から、$x$ が100増加すると、 $Y(=log_{10}y)$ は4.139増加することが分かり、グラフでも、$x$ が100増加すると、 $Y(=log_{10}y)$ は4.139増加していることが分かる。定数$a$ 、$b$ で表した指数関数の同様な変形は次式のようになる。

$$y = a b^x$$

$$10 ^Y = a b^x$$

$$Y = \log_{10} a + x \log_{10} b$$

グラフから読みとれる傾きが $\log_{10} b$ 、切片が $\log_{10} a$ である。このことから読みとった傾きと切片から元の関数の$a$ と$b$ を求めることが出来る。

対数関数の式(5)を変形する。$y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 2000 \log_{e}x +1000$$

$$10 ^Y = 2000 \log_{e}x +1000$$

$$Y = 3 \log_{10} 2 + \log_{10} (\log_{e} x +1/2)$$

$$Y \simeq 0.9031 + \log_{10} (\log_{e} x + 0.5000)$$

図8に示すように対数関数を表す緑線は凸の曲線となる。

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