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A. おまけ


A..1 詳細な計算

「1 対数グラフと線形グラフの性質」で示した以下のそれぞれの関数についての計算の詳細を示す。

線形関数 $\displaystyle y$ $\displaystyle = 90 x + 500$ (1)
指数関数 $\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.9 \times 1.1^x$ (2)
対数関数 $\displaystyle y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e}x + 1000$ (3)
べき関数 $\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.8 x ^2$ (4)

対数軸では値の$ x$ 、$ y$ に対して10の対数を取った次式で表される$ X$ 、$ Y$ との関係が表される。

$\displaystyle X$ $\displaystyle = \log_{10} x$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} y$    

上式を変形する。

$\displaystyle x$ $\displaystyle = 10 ^X$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 10 ^Y$    

この関係を対数軸をとる変数へ代入し、対数軸では$ X$ 、$ Y$ 、通常の軸では$ x$ 、$ y$ との関係を見ればどのような形のグラフとなるか分かる。 式(1)～式(4)の関数のそれぞれのグラフへの対応を見ていく。

A..1.1 線形-線形グラフ

対数軸がない通常の線形グラフでは図14に示すように黒線の線形関数（式(1)）は直線に、青線の指数関数（式(2)）は下に凸の曲線に、緑線の対数関数（式(3)）は上に凸の曲線に、赤線のべき関数（式(4)）は$ y = 0$ に対して対称な下に凸の曲線になる。対数$ \log$ はゼロ以下の値には使えないため、対数関数は$ x$ が正の領域のみ曲線が描かれる。
図 14: 線形グラフ
\includegraphics[width=70mm,keepaspectratio]{figures/GraphDouble-ii.eps}


A..1.2 線形-対数 片対数グラフ

$ y$ 軸が対数の片対数グラフでは式(1)～式(4)の関数は図15のように描かれる。
図 15: 片対数グラフ
\includegraphics[width=80mm]{figures/GraphDouble-io.eps}

線形関数の式(1)を変形する。$ y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 90 x + 500$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 90 x + 500$    
$\displaystyle \log_{10} 10 ^Y$ $\displaystyle = \log_{10} (90x + 500)$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} 90 + \log_{10} (x + 500/90)$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq 1.954 + \log_{10} (x + 5.556)$    

$ Y$ と$ x$ は対数関数に近い形となり、図15の線形関数を表す黒線は線形-線形グラフ（図14）の対数関数（緑線）と近い上に凸の曲線になっている。

指数関数の式(2)を変形する。$ y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.9 \times 1.1^x$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 0.9 \times 1.1^x$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = x \log_{10} 1.1 + \log_{10} 0.9$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq 4.139 \times 10^{-2} x - 0.04575$    

$ Y$ と$ x$ が線形の式となっているので、図15の指数関数を表す青線は直線となっている。縦軸は対数であるので、10倍になると$ Y$ が1増加する。変換後の式から、$ x$ が100増加すると、 $ Y(=\log_{10}y)$ は4.139増加することが分かり、グラフ（図15）でも、$ x$ が100増加すると、 $ Y(=\log_{10}y)$ は4.139増加している。定数$ a$ 、$ b$ で表した指数関数の同様な変形は次式のようになる。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = a b^x$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = a b^x$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} a + x \log_{10} b$    

グラフから読みとれる傾きが $ \log_{10} b$ 、切片が $ \log_{10} a$ である（表1）。このことから読みとった傾きと切片から元の関数の$ a$ と$ b$ を求めることが出来る。

対数関数の式(3)を変形する。$ y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e}x + 1000$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e}x + 1000$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = 3 \log_{10} 2 + \log_{10} (\log_{e} x +1/2)$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq 0.9031 + \log_{10} (\log_{e} x + 0.5000)$    

図15に示すように対数関数を表す緑線は上に凸の曲線となる。

べき関数の式(4)を変形する。$ y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.8 x ^2$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 0.8 x ^2$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = 2 \log_{10} \vert x\vert + \log_{10} 0.8$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq 2 \log_{10} \vert x\vert - 0.09691$    

$ Y$ と$ x$ は対数関数となり、図15のべき関数を表す赤線は線形-線形グラフ（図14）の対数関数（緑線）と近い上に凸の曲線になっている。

A..1.3 対数-線形　片対数グラフ

$ x$ 軸が対数となる片対数グラフでは式(1)～式(4)の関数は図16のように描かれる。
図 16: 片対数グラフ
\includegraphics[width=70mm]{figures/GraphDouble-oi.eps}

線形関数の式(1)を変形する。$ x = 10 ^X$ を代入し変形する。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 90 x + 500$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 90 \times 10 ^X + 500$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle \simeq 10^{X + 1.954} + 500$    

$ y$ と$ X$ は指数関数に近い形となり、図16の線形関数を表す黒線は線形-線形グラフ（図14）の指数関数（青線）と近い下に凸の曲線になっている。

指数関数の式(2)を変形する。$ x = 10 ^X$ を代入し変形する。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.9 \times 1.1^x$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.9 \times 1.1^{10 ^X}$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.9 \times (1.1^{10})^X$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle \simeq 0.9 \times 2.594 ^X$    

$ y$ と$ X$ は指数関数となり、図16の指数関数を表す青線は線形-線形グラフ（図14）の指数関数（青線）と近い下に凸の曲線になっている。

対数関数の式(3)を変形する。$ x = 10 ^X$ を代入し変形する。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e}x + 1000$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e} 10 ^X + 1000$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 2000 X \log_{e} 10 + 1000$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle \simeq 2000 \times 2.303 X + 1000$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle \simeq 4606 X + 1000$    

$ y$ と$ X$ は線形関数となり、図16では対数関数を表す緑線は直線として描かれる。定数$ a$ 、$ b$ で表される対数関数を同様に変形する。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = a\log_e x + b$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = a \log_e 10^X + b$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = (\log_e 10) a X + b$    

このようにグラフの傾きが $ (\log_e 10) a$ 、切片がbとなる（表1）。グラフから読みとった傾きと切片から元の関数の$ a$ と$ b$ を求めることができる。

べき関数の式(4)を変形する。$ x = 10 ^X$ を代入し変形する。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.8 x ^2$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.8 (10 ^X ) ^2$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.8 (10^2)^X$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.8 \times 100^X$    

$ y$ と$ X$ は指数関数となり、図16のべき関数を表す赤線は線形-線形グラフ（図14）の指数関数（青線）と近い下に凸の曲線になっている。

A..1.4 対数-対数　両対数グラフ

$ x$ 軸、$ y$ 軸共に対数となる両対数グラフでは式(1)～式(4)の関数は図17のように描かれる。
図 17: 両対数グラフ
\includegraphics[width=80mm]{figures/GraphDouble-oo.eps}

線形関数の式(1)を変形する。 $ x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 100 x$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 90 x + 500$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 90 \times 10 ^X + 500$    
$\displaystyle \log_{10} 10 ^Y$ $\displaystyle = \log_{10} (90 \times 10 ^X + 500)$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} (90 \times 10 ^X + 500)$    

図17で線形関数は黒線に示すようにやや下に凸の曲線になっている。

指数関数の式(2)を変形する。 $ x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.9 \times 1.1^x$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 0.9 \times 1.1^{10 ^X}$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} (0.9 \times 1.1^{10^X})$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} 0.9 + 10 ^X \log_{10} 1.1$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq 0.04139 \times 10^X - 0.04576$    

$ Y$ と$ X$ は指数関数に近い形となり、図17の指数関数を表す青線は線形-線形グラフ（図14）の指数関数（青線）と近い下に凸の曲線になっている。

対数関数の式(3)を変形する。 $ x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e}x$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e}x + 1000$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 2000 \log_{e} 10 ^X + 1000$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 2000 X \log_{e} 10 + 1000$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} (2000 X \log_{e} 10 + 1000)$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq \log_{10} (4605 X + 1000)$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq \log_{10} (X + 0.2172) + 0.3663$    

$ Y$ と$ X$ は対数関数に近い形となり、図17の対数関数を表す緑線は線形-線形グラフ（図14）の対数関数（緑線）と近い下に凸の曲線になっている。

べき関数の式(4)を変形する。 $ x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = 0.8 x ^2$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = 0.8 \times (10 ^X )^2$    
$\displaystyle \log_{10} 10 ^Y$ $\displaystyle = \log_{10} \{0.8 \times (10 ^X) ^2\}$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} 0.8 + \log_{10} (10 ^X )^2$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle \simeq 2 X - 0.09691$    

$ Y$ と$ X$ は線形関数となり、図17でべき関数は赤線に示すように直線で描かれる。定数$ a$ 、$ b$ で表したべき関数を同様に変形する。

$\displaystyle y$ $\displaystyle = a x^b$    
$\displaystyle 10 ^Y$ $\displaystyle = a (10^X)^b$    
$\displaystyle \log_{10} 10 ^Y$ $\displaystyle = \log_{10} a (10^X)^b$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} a + \log_{10} 10^bX$    
$\displaystyle Y$ $\displaystyle = \log_{10} a + b X$    

グラフの傾きが$ b$ 、切片が $ \log_{10} a$ となる（表1）。この読みとった傾きと切片から元の関数の$ a$ と$ b$ が計算できる。


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