熱力学的温度と可逆サイクルの効率

前節の$\phi(T)$（式(17)）をSI（国際単位系）では基本単位である熱力学的温度（絶対温度）$\varTheta$（単位はK(ケルビン)）として定義されている[1][4]。

$$\varTheta = \phi(T)$$

また日常使われる摂氏温度$\theta$[℃]は国際的にSI（国際単位系）の組立単位として絶対温度$\varTheta$[K]により次式で定義されている[4] ²³。

$$\varTheta = \theta + 273.15$$

この熱力学的温度で表現すると、温度 $\varTheta_{\rm H}$[K]と温度 $\varTheta_{\rm L}$[K]の二つの熱源で動作する可逆熱機関の熱源とやりとりする熱量$Q_{\rm H}$[J]と熱量$Q_{\rm L}$[J]の関係は次のように熱力学的温度（絶対温度）の比で表される ²⁴。

$$\frac{ \vert Q_{\rm L 可} \vert }{ \vert Q_{\rm H 可} \vert } = \frac{\varTheta_{\rm L}}{\varTheta_{\rm H}}$$ (19)

変形し次式の様に表すこともできる ²⁵。

$$\frac{ \vert Q_{\rm H 可}\vert }{ \varTheta_{\rm H} } = \frac{ \vert Q_{\rm L 可}\vert }{\varTheta_{\rm L}}$$ (21)

式(5) $^{\text{p.\pageref{eq-EfficiencyEngineQ}}}$と式(20)より、温度 $\varTheta_{\rm H}$[K]の熱源と温度 $\varTheta_{\rm L}$[K]の熱源（ $\varTheta_{\rm H} > \varTheta_{\rm L}$）で動作する可逆熱機関の効率は次式(24)で表される ²⁶。

$$\eta_{\rm HL可} = \frac{ \vert Q_{\rm H 可} \vert - \vert Q_{\rm L 可} \vert }{ \vert Q_{\rm H 可} \vert }$$

$$= 1 - \frac{ \vert Q_{\rm L 可} \vert }{ \vert Q_{\rm H 可} \vert }$$

$$= 1 - \frac{\varTheta_{\rm L}}{\varTheta_{\rm H}}$$

$$= \frac{\varTheta_{\rm H} - \varTheta_{\rm L}}{\varTheta_{\rm H}}$$ (23)

脚注

²³

関数$\phi$と摂氏温度$\theta$[℃]の関係は次式で表される。

$$\theta + 273.15 = \phi(T)$$

²⁴

関数 $g(T_{\rm H}, T_{\rm L})$は次のように表される。

$$\frac{ \vert Q_{\rm L 可} \vert }{ \vert Q_{\rm H 可} \vert } = \frac{\varTheta_{\rm L}}{\varTheta_{\rm H}} = g(T_{\rm H}, T_{\rm L})$$ (18)

²⁵

絶対値を外すと$Q_{\rm H}$[J]と$Q_{\rm L}$[J]は熱機関（ヒートポンプ）に対し入る向きと出る向きと伝わる方向が逆であり、符号が逆となるので次式となる。

$$\frac{ Q_{\rm H 可} }{ \varTheta_{\rm H} } = - \frac{ Q_{\rm L 可} }{\varTheta_{\rm L}}$$ (20)

²⁶

関数 $f(T_{\rm H}, T_{\rm L})$は次のように表される。

$$\frac{\vert W_{\rm 可}\vert}{\vert Q_{\rm H 可} \vert} = \frac{\varTheta_{\rm H} - \varTheta_{\rm L}}{\varTheta_{\rm H}} = f(T_{\rm H}, T_{\rm L})$$ (22)

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