可逆断熱過程での関係

可逆断熱過程での関係

次に可逆断熱変化での関係を求める。まず、理想気体の内部エネルギーの変化が等積比熱により求められることを示す。

内部エネルギーを温度 $\varTheta_\mathrm{ideal}$ と体積 $V$ の関数として $U(\varTheta_\mathrm{ideal},V)$ として表すと、他変数関数の微分の定義より次式が得られる。

$\displaystyle \mathrm{d}U$	$\displaystyle = \bigg( \if 11 \dfrac{\partial U}{\partial \varTheta_\mathrm{ide... ...artial^{1} U}{\partial V^{1}} \fi \bigg)_{\varTheta_\mathrm{ideal}} \mathrm{d}V$
$\displaystyle \shortintertext{\footnotesize\hspace{200pt} 理想気体では内部エネルギーは温度のみの関数であるので}$	$\displaystyle = \bigg( \if 11 \dfrac{\partial U}{\partial \varTheta_\mathrm{ide... ... \varTheta_\mathrm{ideal}^{1}} \fi \bigg)_V \mathrm{d}\varTheta _\mathrm{ideal}$
$\displaystyle \shortintertext{\footnotesize\hspace{200pt} 定積熱容量の定義から$C_V = \big... ...e \dfrac{\partial^{1} U}{\partial \varTheta_\mathrm{ideal}^{1}} \fi \bigg)_V $}$	$\displaystyle = C_V \mathrm{d}\varTheta _\mathrm{ideal}$	(C.6)

次に断熱過程においてサイクルの内部エネルギーは仕事によってのみ変化するため、次式が成り立つ。

$\displaystyle \mathrm{d}U$	$\displaystyle = - P \mathrm{d}V$
$\displaystyle \shortintertext{\footnotesize\hspace{200pt} 式\eqref{eq-ducvdt}より} C_V \mathrm{d}\varTheta _\mathrm{ideal}$	$\displaystyle = - P \mathrm{d}V$
$\displaystyle C_V \mathrm{d}\varTheta _\mathrm{ideal} + P \mathrm{d}V$	$\displaystyle = 0$
$\displaystyle \shortintertext{\footnotesize\hspace{200pt} 理想気体の状態方程式より$P = \dfr... ...}\varTheta _\mathrm{ideal} + \frac{n R \varTheta_\mathrm{ideal}}{V} \mathrm{d}V$	$\displaystyle = 0$
$\displaystyle \frac{1}{\varTheta_\mathrm{ideal}} \mathrm{d}\varTheta _\mathrm{ideal} + \frac{n R}{C_V} \frac{1}{V} \mathrm{d}V$	$\displaystyle = 0$
$\displaystyle \int \frac{1}{\varTheta_\mathrm{ideal}} \mathrm{d}\varTheta _\mathrm{ideal} + \int \frac{n R}{C_V} \frac{1}{V} \mathrm{d}V$	$\displaystyle = 0$
$\displaystyle \int \frac{1}{\varTheta_\mathrm{ideal}} \mathrm{d}\varTheta _\mathrm{ideal} + \frac{n R}{C_V} \int \frac{1}{V} \mathrm{d}V$	$\displaystyle = 0$
$\displaystyle \log_e \varTheta_\mathrm{ideal} + \frac{n R}{C_V} \log_e V + C_1$	$\displaystyle = 0$
$\displaystyle \shortintertext{\footnotesize\hspace{200pt} $C_1$は定数} \log_e \varTheta_\mathrm{ideal} V^\frac{n R}{C_V}$	$\displaystyle = - C_1$
$\displaystyle \varTheta_\mathrm{ideal} V^\frac{n R}{C_V}$	$\displaystyle = e^{- C_1}$
$\displaystyle \shortintertext{\footnotesize\hspace{200pt} $e^{-C_1} = C_2$と置き直す} \varTheta_\mathrm{ideal} V^\frac{n R}{C_V}$	$\displaystyle = C_2$

上式の右辺の

$C_2$

は定数であるので、左辺の $\varTheta_\mathrm{ideal} V^\frac{n R}{C_V}$ は常に同じ値をとることが分かった。

常に同じ値をとることから、断熱過程の前後では等しくなると言える。この関係を断熱過程（2→3）で考えると次式を得る。

$\displaystyle \varTheta_\mathrm{ideal,12} V_2^\frac{n R}{C_V}$

$\displaystyle = \varTheta_\mathrm{ideal,34} V_3^\frac{n R}{C_V}$

同様に断熱過程（4→1）では次の関係が成り立つ。

$\displaystyle \varTheta_\mathrm{ideal,12} V_1^\frac{n R}{C_V}$

$\displaystyle = \varTheta_\mathrm{ideal,34} V_4^\frac{n R}{C_V}$

式(C.7)を式(C.8)で割り次の関係を得る。

$\displaystyle \bigg( \frac{V_2}{V_1} \bigg)^\frac{n R}{C_V}$	$\displaystyle = \bigg( \frac{V_3}{V_4} \bigg)^\frac{n R}{C_V}$
$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$	$\displaystyle = \frac{V_3}{V_4}$	(C.9)

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