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2.4.3 時間あたりに伝わる熱

時間あたりに伝わる熱の量(伝熱量)として、熱伝導による伝熱と熱輻射による伝熱が考えられるが、熱伝導のみを考慮する。 熱伝導による伝熱量$ Q$ [W]はフーリエの法則より次式で表される。

$\displaystyle Q = - k \bm{A} \cdot \bm{\nabla} T$ (2.154)

ここで、$ \bm{A}$ は面積[m$ ^2$ ]、$ k$ は熱伝導率[W/(Km)]である。 上式より、コントロールボリュームのそれぞれの面における熱伝導による伝熱量を求める。

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle - k \bm{A}_{x -}\cdot \bm{\nabla} T_{x -}= - k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$ (2.155)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle - k \bm{A}_{x +}\cdot \bm{\nabla} T_{x +}$ $\displaystyle = - k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _{x +}dydz$    
  $\displaystyle = - k \left( \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {...
...ial x}\bigg(\dfrac{\partial T}{\partial x}\bigg) \right\vert _{x -}\right) dydz$    
  $\displaystyle = - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {...
...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$ (2.156)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle - k \bm{A}_{y -}\cdot \bm{\nabla} T_{y -}= - k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {d} zdx$ (2.157)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle - k \bm{A}_{y +}\cdot \bm{\nabla} T_{y +}$ $\displaystyle = - k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {...
...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$ (2.158)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle - k \bm{A}_{z -}\cdot \bm{\nabla} T_{z -}= - k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {d} xdy$ (2.159)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle - k \bm{A}_{z +}\cdot \bm{\nabla} T_{z +}$ $\displaystyle = - k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {...
...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$ (2.160)

$ xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“時間あたりに伝わる熱"になる。

$ x$ 軸に垂直面
式(2.156)$ -$ 式(2.157)

$\displaystyle - k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {d} ydz + ...
...dz = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dxdydz$ (2.161)

$ y$ 軸に垂直面
式(2.158)$ -$ 式(2.159)

$\displaystyle - k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {d} zdz + ...
...dx = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dxdydz$ (2.162)

$ z$ 軸に垂直面
式(2.160)$ -$ 式(2.161)

$\displaystyle - k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {d} xdy + ...
...dy = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dxdydz$ (2.163)

xyz軸での出入の総和式(2.162)$ +$ 式(2.163)$ +$ 式(2.164)をとると、コントロールボリューム全体での時間あたりに伝わる熱が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.[*])。

$\displaystyle k$ $\displaystyle \bigg( \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } + \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } + \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = k \bm{\nabla}^2 T dxdydz$ (2.164)


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