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2.4.3 時間あたりに伝わる熱

時間あたりに伝わる熱の量（伝熱量）として、熱伝導による伝熱と熱輻射による伝熱が考えられるが、熱伝導のみを考慮する。 熱伝導による伝熱量$Q$ [W]はフーリエの法則より次式で表される。

$$Q = - k \bm{A} \cdot \bm{\nabla} T$$ (2.154)

ここで、$\bm{A}$ は面積[m$^2$ ]、$k$ は熱伝導率[W/(Km)]である。 上式より、コントロールボリュームのそれぞれの面における熱伝導による伝熱量を求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$- k \bm{A}_{x -}\cdot \bm{\nabla} T_{x -}= - k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$$ (2.155)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$- k \bm{A}_{x +}\cdot \bm{\nabla} T_{x +} = - k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _{x +}dydz$$

$$= - k \left( \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {... ...ial x}\bigg(\dfrac{\partial T}{\partial x}\bigg) \right\vert _{x -}\right) dydz$$

$$= - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {... ...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.156)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$- k \bm{A}_{y -}\cdot \bm{\nabla} T_{y -}= - k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {d} zdx$$ (2.157)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$- k \bm{A}_{y +}\cdot \bm{\nabla} T_{y +} = - k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _{y +}dzdx$$

$$= - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {... ...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.158)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$- k \bm{A}_{z -}\cdot \bm{\nabla} T_{z -}= - k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {d} xdy$$ (2.159)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$- k \bm{A}_{z +}\cdot \bm{\nabla} T_{z +} = - k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{z +}dxdy$$

$$= - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {... ...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.160)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“時間あたりに伝わる熱"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.156)$-$ 式(2.157)

$$- k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {d} ydz + ... ...dz = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.161)

$y$ 軸に垂直面

式(2.158)$-$ 式(2.159)

$$- k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {d} zdz + ... ...dx = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.162)

$z$ 軸に垂直面

式(2.160)$-$ 式(2.161)

$$- k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {d} xdy + ... ...dy = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.163)

xyz軸での出入の総和式(2.162)$+$ 式(2.163)$+$ 式(2.164)をとると、コントロールボリューム全体での時間あたりに伝わる熱が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$k \bigg( \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } + \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } + \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \bigg) dxdydz$$

$$= k \bm{\nabla}^2 T dxdydz$$ (2.164)

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