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2.4 エネルギー保存

保存の対象として以下のエネルギーを考える。ここで$m$ [kg]は保存対象の質量、$v$ [m/s]は速度、$g$ [m/s$^2$ ]は重力加速度、$h$ [m]は基準からの高さ、$c_v$ [J/(K$\cdot$ kg)]は定積比熱、$T$ [K]は温度である。流体は等方的でかつ密度以外の物性値など（重力加速度$\bm{g}$ [m/s$^2$ ]、定積比熱$c_v$ [J/(K$\cdot$ kg)]、熱伝導率$k$ [W/(K$\cdot$ m)]、粘性係数$\mu$ [Pa$\cdot$ s]）は一定であると仮定する。

• 運動エネルギー（運動している物体が持っているエネルギー） $\dfrac{1}{2} m \bm{v}^2$
• 位置エネルギー（重力によるエネルギー） $mgh$
• 界面エネルギー（界面を持つ流体間でのエネルギー　ここでは考慮しない）
• 内部エネルギー（系の持っているエネルギーから、運動・位置・界面エネルギーを除いたもの。主に顕熱 $m c_v T$ と潜熱であるが、ここでは顕熱のみを考慮する。）

閉じた系では内部エネルギー$U$ [J]のみを考慮し、エネルギーの保存は熱力学の第一法則より

$$\Delta U = Q + W$$

ここで、$\Delta U$ [J]は系の保有する内部エネルギーの変化量、$Q$ [J]は熱、$W$ [J]は仕事である。この系の内部エネルギーの時間変化量は、時間あたりに伝わる熱$\dot{Q}$ [W]と時間あたりの仕事$\dot{W}$ [W]で次のように表される。

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \dot{Q} + \dot{W}$$ (2.87)

今は開いた系（流れ系）を考えているので、上式(2.88)の左辺の全エネルギー（運動・位置・内部エネルギー）の時間変化と右辺の“時間あたりに伝わる熱”、“時間あたりの仕事”に右辺の対流により運ばれる運動・位置・内部エネルギーが加えられる。“時間あたりに伝わる熱”が式(2.8)における“拡散による出入”、“時間あたりの仕事”が“その他の出入"となる。このことから、エネルギー方程式は次のように書ける。

$$\frac{\partial 持っている全エネルギー}{\partial t} = 対流による 全エネルギーの出入 + 時間あたりに伝わる熱$$

$$+ 時間あたりの仕事 + 生成エネルギー$$ (2.88)

式(2.89)の各項について考えていく。その際、界面エネルギーと潜熱、生成エネルギーは考慮しない。

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