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2.3.2.1 圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は変化する)

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.42) $ ^{\text{\pageref{eq-momentum-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.17)-(2.22) $ ^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x-com}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $ ^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}= \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz = \r...
...array}{c} u_{x -}^2 \\ u_{x -}v_{x -}\\ u_{x -}w_{x -} \end{array} \right) dydz$ (2.42)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \dot{m}_{x +}$ $\displaystyle \bm{v}_{x +}= \rho_{x +}u_{x +}\bm{v}_{x +}dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \bigg( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \righ...
...\left. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \underbrace{ \rho_{x -}u_{x...
...}_{計算は付録の式\eqref{eq-dif_product3}\text{p.\pageref{eq-dif_product3}参照}}$    
  % latex2html id marker 22250 $\displaystyle \underbrace{+ \rho_{x -}\left. \fra...
...視する(\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm})}$    
  % latex2html id marker 22251 $\displaystyle \underbrace{+ \left. \frac{\partial...
...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm})} \bigg) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (\rho u \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} \rho_{x -}u_{x -}^2 + \left. \dfrac{\part...
...rtial (\rho u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \end{array} \right) dydz$ (2.43)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}= \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}dzdx = \r...
...array}{c} u_{y -}v_{y -}\\ v_{y -}^2 \\ v_{y -}w_{y -} \end{array} \right) dzdx$ (2.44)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{y +}$ $\displaystyle \bm{v}_{y +}= \rho_{y +}v_{y +}\bm{v}_{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = \bigg( \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (\rho v \bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = \left( \begin{array}{c} \rho_{y -}u_{y -}v_{y -}+ \left. \dfrac...
...rtial (\rho v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \end{array} \right) dzdx$ (2.45)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}= \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}dxdy = \r...
...{array}{c} u_{z -}w_{z -}\\ v_{z -}w_{z -}\\ w_{z -}^2 \end{array} \right) dxdy$ (2.46)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{z +}$ $\displaystyle \bm{v}_{z +}= \rho_{z +}w_{z +}\bm{v}_{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = \bigg( \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (\rho w \bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = \left( \begin{array}{c} \rho_{z -}u_{z -}w_{z -}+ \left. \dfrac...
...tial (\rho w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \end{array} \right) dxdy$ (2.47)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$ xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる2.92.1.6 $ ^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ )。
$ x$ 軸に沿った出入
式(2.43))$ -$ 式(2.44 % latex2html id marker 22301 $ ^{\text{p.\pageref{eq-momadvx-com})$-$式(\ref{eq-momadvxp-com}}}$

$\displaystyle \rho_{x -}$ $\displaystyle u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz - \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \...
... \frac{\partial (\rho u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx\bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - \left. \frac{\partial (\rho u \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (\rho u^2 )}{\...
...artial (\rho u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \end{array} \right) dxdydz$ (2.48)

$ y$ 軸に沿った出入
式(2.45))$ -$ 式(2.46 % latex2html id marker 22311 $ ^{\text{p.\pageref{eq-momadvy-com})$-$式(\ref{eq-momadvyp-com}}}$

$\displaystyle \rho_{y -}$ $\displaystyle v_{y -}\bm{v}_{y -}dydz - \bigg( \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \...
... \frac{\partial (\rho v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy\bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = - \left. \frac{\partial (\rho v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (\rho u v)}{\p...
...artial (\rho v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \end{array} \right) dxdydz$ (2.49)

$ z$ 軸に沿った出入
式(2.47))$ -$ 式(2.48 % latex2html id marker 22321 $ ^{\text{p.\pageref{eq-momadvz-com})$-$式(\ref{eq-momadvzp-com}}}$

$\displaystyle \rho_{z -}$ $\displaystyle w_{z -}\bm{v}_{z -}dydz - \bigg( \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \...
... \frac{\partial (\rho w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz\bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = - \left. \frac{\partial (\rho w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (\rho u w)}{\p...
...rtial (\rho w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \end{array} \right) dxdydz$ (2.50)

xyz軸での出入の総和、式(2.49))$ +$ 式(2.50)$ +$ 式(2.51 % latex2html id marker 22331 $ ^{\text{p.\pageref{eq-momadvX-com})$+$式(\ref{eq-momadvY-com})$+$式(\ref{eq-momadvZ-com}}}$ をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7 $ ^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による運動量の出入は次式で表される。

$\displaystyle - \bigg( \dfrac{\partial (\rho u\bm{v})}{\partial x} +$ $\displaystyle \dfrac{\partial (\rho v\bm{v})}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho w\bm{v})}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial (\rho u^2 )}{\partial x...
...artial y} + \dfrac{\partial (\rho w^2 )}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - \left( \begin{array}{c} \bm{\nabla} \cdot (\rho u \bm{v}) \vspa...
...) \vspace{.5em} \\ \bm{\nabla} \cdot (\rho w \bm{v}) \end{array} \right) dxdydz$ (2.51)


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