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2.3.2.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.42) $^{\text{\pageref{eq-momentum-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.27)-(2.32) $^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}= \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz = \rho \l... ...array}{c} u_{x -}^2 \\ u_{x -}v_{x -}\\ u_{x -}w_{x -} \end{array} \right) dydz$$ (2.52)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}\bm{v}_{x +} = \rho u_{x +}\bm{v}_{x +}dydz$$

$$= \rho \bigg( u_{x -} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \rig... ...\left. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ ... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \rho \left( \begin{array}{c} u_{x -}^2 + \left. \dfrac{\partial... ...c{\partial (u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \end{array} \right) dydz$$ (2.53)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}= \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}dzdx = \rho \l... ...array}{c} u_{y -}v_{y -}\\ v_{y -}^2 \\ v_{y -}w_{y -} \end{array} \right) dzdx$$ (2.54)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}\bm{v}_{y +} = \rho v_{y +}\bm{v}_{y +}dzdx$$

$$= \rho \bigg( v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= \rho \left( \begin{array}{c} u_{y -}v_{y -}+ \left. \dfrac{\par... ...c{\partial (v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \end{array} \right) dzdx$$ (2.55)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面下

$$\dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}= \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}dxdy = \rho \l... ...{array}{c} u_{z -}w_{z -}\\ v_{z -}w_{z -}\\ w_{z -}^2 \end{array} \right) dxdy$$ (2.56)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面上

$$\dot{m}_{z +}\bm{v}_{z +} = \rho w_{z +}\bm{v}_{z +}dxdy$$

$$= \rho \bigg( w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= \rho \left( \begin{array}{c} u_{z -}w_{z -}+ \left. \dfrac{\par... ...{\partial (w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \end{array} \right) dxdy$$ (2.57)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.10（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.53)$-$ 式(2.54)

$$\rho u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz - \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx\bigg) dydz$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u^2 )}{\... ...ac{\partial (u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.58)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.55)$-$ 式(2.56)

$$\rho v_{y -}\bm{v}_{y -}dydz - \rho \bigg( v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy\bigg) dzdx$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u v)}{\p... ...ac{\partial (v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.59)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.57)$-$ 式(2.58)

$$\rho w_{z -}\bm{v}_{z -}dydz - \rho \bigg( w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz\bigg) dxdy$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u w)}{\p... ...c{\partial (w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.60)

xyz軸での出入の総和、式(2.59)$+$ 式(2.60)$+$ 式(2.61)をとり、変形^2.11し、質量保存式(2.38) $^{\text{p.\pageref{eq-mass}}}$ を代入する。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による運動量の出入は次式で表される。

$$- \rho \bigg( \dfrac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} + \dfrac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} + \dfrac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial (u^2 )}{\partial x... ...)}{\partial y} + \dfrac{\partial (w^2 )}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} 2 u \dfrac{\partial u}{\partial x}... ... w}{\partial y} + 2 w \dfrac{\partial w}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} u \d... ...ial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\nabla} u \vspace... ....5em} \\ \bm{v} \cdot \bm{\nabla} w \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdydz$$ (2.61)

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