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2.3.3.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

式(2.65) $^{\text{p.\pageref{eq-sigma-com}}}$ と式(2.66) $^{\text{p.\pageref{eq-tau}}}$ から、xyz軸に垂直な面それぞれに掛かる力を求める。力は外への方向が正となっている。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x -}} dydz \\ \tau_{xy, {x -}... ...c{\partial w}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) \end{array} \right) dydz$$ (2.66)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x +}} dydz \\ \tau_{xy, {x +}... ...rtial x} \right\vert _ {{x +}} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \bigg( P_{x -} + \left. \dfrac{\parti... ...ight\vert _ {{x -}} \bigg) dx \bigg\} \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dydz$$ (2.67)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y -}} dzdx \vspace{.5em} \\ \s... ...c{\partial w}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) \end{array} \right) dzdx$$ (2.68)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y +}} dzdx \vspace{.5em} \\ \s... ...rtial y} \right\vert _ {{y +}} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dzdx$$

$$= \left( \begin{array}{c} \mu \bigg\{ \bigg( \left. \dfrac{\parti... ...ight\vert _ {{y -}} \bigg) dy \bigg\} \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dzdx$$ (2.69)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z -}} dxdy \vspace{.5em} \\ \t... ...} - \dfrac{2}{3} \nabla \cdot \bm{v}_{{z -}} \bigg) \\ \end{array} \right) dxdy$$ (2.70)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z +}} dxdy \vspace{.5em} \\ \t... ...3} \nabla \cdot \bm{v}_{{z +}} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdy$$

$$= \left( \begin{array}{c} \mu \bigg\{ \bigg( \left. \dfrac{\parti... ...cdot \bm{v}_{{z -}} \bigg) dz \bigg\} \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdy$$ (2.71)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った作用を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリューム内を正の方向へ加速させる力を正、負の方向へ加速させる力を負となるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.13。

$x$ 軸に沿った作用

$-$ 式(2.67)$+$ 式(2.68)

$$\left( \begin{array}{c} - \sigma_{x, {x -}} + \sigma_{x, {x +}} \... ...xy, {x +}} \\ - \tau_{xz, {x -}} + \tau_{xz, {x +}} \\ \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left\{ - P_{x -}+ \mu \bigg( 2 \left... ...t _ {{x -}} \bigg) dx \bigg\} \right] \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left. \dfrac{\partial P}{\partial x}... ...al x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dx \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \left. \dfrac{\partial P}{\partial x}... ...ial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdydz$$ (2.72)

$y$ 軸に沿った作用

$-$ 式(2.69)$+$ 式(2.70)

$$\left( \begin{array}{c} - \tau_{yx, {y -}} + \tau_{yx, {y +}} \\ ... ...ial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdydz$$ (2.73)

$z$ 軸に沿った作用

$-$ 式(2.71)$+$ 式(2.72)

$$\left( \begin{array}{c} - \tau_{zx, {z -}} + \tau_{zx, {z +}} \\ ... ... \nabla \cdot \bm{v}_{{z -}} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdydz$$ (2.74)

xyz軸での出入の総和、式(2.73)$+$ 式(2.74)$+$ 式(2.75)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での表面に作用する力は次式で表される。

$$\left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu \d... ...ac{2}{3} \nabla \cdot \bm{v} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu ... ...frac{\partial w}{\partial z} \bigg) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \mu ... ...big( \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \big) \vspace{.5em} \\ \end{array} \right) dxdydz$$

$$= \bigg[ - \bm{\nabla} P + \mu \bigg\{ \bm{\nabla} \cdot \bm{\nab... ...{v} + \dfrac{1}{3} \bm{\nabla} (\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) \bigg\} \bigg] dxdydz$$ (2.75)

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