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2.4.2.2 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.97) $^{\text{p.\pageref{eq-kinetic-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.17)-(2.22) $^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x-com}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}= \frac{1} {2} \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}dydz$$ (2.97)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\frac{1}{2} \dot{m} _{x +}\bm{v}_{x +}\cdot \bm{v}_{x +}= \frac{1} {2} \rho_{x +}u_{x +}\bm{v}_{x +}\cdot \bm{v}_{x +}dydz$$

$$= \frac{1}{2} \left( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\part... ...eft. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg)^2 dydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x ... ...ot \bm{v}_{x -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$$

$$\underbrace{ + \rho_{x -}u_{x -}\le... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$\underbrace{ + \bm{v}_{x -}\cdot \b... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$\underbrace{ + 2 \bm{v}_{x -}\cdot ... ...sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg\} dydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -... ... (\rho u \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.98)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y -}= \frac{1} {2} \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y -}dzdx$$ (2.99)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y +}\bm{v}_{y +}\cdot \bm{v}_{y +}= \frac{1} {2} \rho_{y +}v_{y +}\bm{v}_{y +}\cdot \bm{v}_{y +}dzdx$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y... ... (\rho v \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.100)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z -}= \frac{1} {2} \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z -}dxdy$$ (2.101)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z +}\bm{v}_{z +}\cdot \bm{v}_{z +}= \frac{1} {2} \rho_{z +}w_{z +}\bm{v}_{z +}\cdot \bm{v}_{z +}dxdy$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z... ... (\rho w \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.102)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.15（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.98)$-$ 式(2.99)

$$\frac{1} {2} \rho_{x -} u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}dydz - \frac{1}{2} \bigg( \r... ... (\rho u \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \frac{1}{2} \left. \frac{\partial \left( \rho u \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.103)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.100)$-$ 式(2.101)

$$\frac{1} {2} \rho_{y -} v_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y -}dzdx - \frac{1}{2} \bigg( \r... ... (\rho v \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \frac{1} {2} \left. \frac{\partial \left( \rho v \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.104)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.102)$-$ 式(2.103)

$$\frac{1} {2} \rho_{z -} w_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z -}dxdy - \frac{1}{2} \bigg( \r... ... (\rho w \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \frac{1} {2} \left. \frac{\partial \left( \rho w \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.105)

xyz軸での出入の総和、式(2.104)$+$ 式(2.105)$+$ 式(2.106)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による運動エネルギーの出入は次式で表される ^2.16。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )。

$$- \frac{1}{2} \bigg( \dfrac{\partial \left( \rho u \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}... ...c{\partial \left( \rho w \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1}{2} \bigg\{ \bigg( \rho u \dfrac{\partial ( \bm{v} \cdo... ...v}{\partial y} + \bm{v} \cdot \bm{v} v \dfrac{\partial \rho}{\partial y} \bigg)$$

$$\hspace{15em} + \bigg( \rho w \dfrac{\partial ( \bm{v} \cdot \bm{... ...+ \bm{v} \cdot \bm{v} w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydx$$

$$= - \frac{1}{2} \bigg\{ \rho \bigg( u \dfrac{\partial ( \bm{v} \cdo... ...l \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydx$$

$$= - \dfrac{1}{2} \{ \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla}( \bm{v} \cdot \bm... ... \cdot \bm{v}) + (\bm{v} \cdot \bm{v}) (\bm{v} \cdot \bm{\nabla}\rho) \} dxdydx$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bm{\nabla} \cdot ( \rho (\bm{v} \cdot \bm{v} ) \bm{v} ) dxdydz$$ (2.106)

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