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2.4.2.3 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.97) $^{\text{p.\pageref{eq-kinetic-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.27)-(2.32) $^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}= \frac{1} {2} \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}dydz$$ (2.107)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{x +}\bm{v}_{x +}\cdot \bm{v}_{x +}= \frac{1}{2} \rho u_{x +}\bm{v}_{x +}\cdot \bm{v}_{x +}dydz$$

$$= \frac{1} {2} \rho \left( u_{x -} + \left. \frac{\partial u}{\part... ...ft. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \right)^2 dydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg\{ \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}+ 2... ...\cdot \bm{v}_{x -}\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$$

$$\underbrace{ + \rho u_{x -}\left. \... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}+ \r... ...rtial (u \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.108)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y -}= \frac{1}{2} \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y -}dzdx$$ (2.109)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y +}\bm{v}_{y +}\cdot \bm{v}_{y +}= \frac{1}{2} \rho v_{y +}\bm{v}_{y +}\cdot \bm{v}_{y +}dzdx$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y -}+ ... ...rtial (v \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.110)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z -}= \frac{1}{2} \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z -}dxdy$$ (2.111)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z +}\bm{v}_{z +}\cdot \bm{v}_{z +}= \frac{1}{2} \rho w_{z +}\bm{v}_{z +}\cdot \bm{v}_{z +}dxdy$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z -}+ ... ...rtial (w \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.112)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.17（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.108)$-$ 式(2.109)

$$\frac{1}{2} \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{v}_{x -}dydz - \frac{1}{2} \bigg( \r... ...rtial (u \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \left. \frac{\partial \left( u \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydx$$ (2.113)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.110)$-$ 式(2.111)

$$\frac{1}{2} \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{v}_{y -}dzdx - \frac{1}{2} \bigg( \r... ...rtial (v \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \left. \frac{\partial \left( v \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydx$$ (2.114)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.112)$-$ 式(2.113)

$$\frac{1}{2} \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{v}_{z -}dxdy - \frac{1}{2} \bigg( \r... ...rtial (w \bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \left. \frac{\partial \left( w \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydx$$ (2.115)

xyz軸での出入の総和、式(2.114)$+$ 式(2.115)$+$ 式(2.116)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による運動エネルギーの出入は次式で表される。

$$- \frac{1} {2} \rho \bigg( \dfrac{\partial \left( u \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\par... ...\dfrac{\partial \left( w \bm{v} \cdot \bm{v} \right)}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \bigg( \dfrac{\partial (u u^2 )}{\partial x} ... ...+ \dfrac{\partial (v v^2 )}{\partial y} + \dfrac{\partial (v w^2 )}{\partial y}$$

$$+ \dfrac{\partial (w u^2 )}{\partial z} + \dfrac{\partial (w v^2 )}{\partial z} + \dfrac{\partial (w w^2 )}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \bigg( u \dfrac{\partial u^2 }{\partial x} + ... ...l x} + u \dfrac{\partial w^2 }{\partial x} + w^2 \dfrac{\partial u}{\partial x}$$

$$+ v \dfrac{\partial u^2 }{\partial y} + u^2 \dfrac{\partial v}{\p... ...l y} + v \dfrac{\partial w^2 }{\partial y} + w^2 \dfrac{\partial v}{\partial y}$$

$$+ w \dfrac{\partial u^2 }{\partial z} + u^2 \dfrac{\partial w}{\p... ...c{\partial w^2 }{\partial z} + w^2 \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1} {2} \rho \bigg\{ u \bigg( \dfrac{\partial u^2 }{\parti... ... + \dfrac{\partial v^2 }{\partial z} + \dfrac{\partial w^2 }{\partial z} \bigg)$$

$$+ u^2 \underbrace{\bigg( \dfrac{\pa... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydx$$

$$= - \frac{1}{2} \rho \bigg\{ u \dfrac{\partial (\bm{v} \cdot \bm{v}... ...artial y} + w \dfrac{\partial (\bm{v} \cdot \bm{v})}{\partial z} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v}) dxdydz$$ (2.116)

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