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2.4.2.5 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.118) $^{\text{p.\pageref{eq-potential-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.17)-(2.22) $^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x-com}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}g \left( y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{x -}g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$ (2.118)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{x +}g u_{x +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= g \left( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \ri... ...tial x} \right\vert _ {{x -}} d x \right) \left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= g \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + \rho... ... dx + u_{x -}y \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$$

$$\underbrace{+ \frac{1}{2} \rho_{x -... ...sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg\} dydz$$

$$= g \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + y \left. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$ (2.119)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}g y = \rho_{y -}g v_{y -}y dzdx$$ (2.120)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}g (y + dy) = \rho_{y +}g v_{y +}( y + dy ) dzdx$$

$$= g \left( \rho_{y -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \ri... ...\frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \right) ( y + dy ) dzdx$$

$$= g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \rho_{y -}v_{y -}dy + \rho_{y -}y \... ... dy + v_{y -}y \left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy$$

$$\underbrace{+ \rho_{y -}\left. \fra... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dzdx$$

$$= g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + y \left. \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy + \rho_{y -}v_{y -}dy \bigg) dzdx$$

$$= g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.121)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{z -}g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$ (2.122)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho_{z +}g w_{z +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$

$$= g \bigg\{ \rho_{z -}w_{z -}\bigg( y + \frac{dy} {2} \bigg) + y \left. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$ (2.123)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.18（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.119)$-$ 式(2.120)

$$\rho_{x -} g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz - g \bigg\{ \rho_{... ...eft. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$

$$= - g y \left. \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.124)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.121)$-$ 式(2.122)

$$\rho_{y -} g v_{y -}y dzdx - g \bigg( \rho_{y -}v_{y -}y + \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - g \left. \frac{\partial (\rho v y)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.125)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.123)$-$ 式(2.124)

$$\rho_{z -} g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy - g \bigg\{ \rho_{... ...eft. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$

$$= - g y \left. \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.126)

xyz軸での出入の総和、式(2.125)$+$ 式(2.126)$+$ 式(2.127)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による位置エネルギーの出入は次式で表される。

$$- g \bigg( y \dfrac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \dfrac{\part... ...(\rho v y)}{\partial y} + y \dfrac{\partial (\rho w)}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - g \bigg( \rho y \dfrac{\partial u}{\partial x} + u y \dfrac{\... ...c{\partial w}{\partial z} + w y \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - g \bigg\{ \rho y \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfr... ...\rho}{\partial z} \bigg) + \rho v \dfrac{\partial y}{\partial y} \bigg\} dxdydz$$

$$= - g ( \rho y \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + y \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho + \rho v ) dxdydz$$

$$= - g ( y \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) + \rho v ) dxdydz$$ (2.127)

$$= - g \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v} y) dxdydz$$

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