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2.4.2.6 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.118) $^{\text{p.\pageref{eq-potential-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.27)-(2.32) $^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}g \left( y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$ (2.128)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g u_{x +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= \rho g \left( u_{x -} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \right) \left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz$$

$$= \rho g \bigg\{ u_{x -}\left( y + ... ...sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg\} dydz$$

$$= \rho g \bigg\{ u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) + y \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$ (2.129)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}g y = \rho g v_{y -}y dzdx$$ (2.130)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}g (y + dy) = \rho g v_{y +}( y + dy ) dzdx$$

$$= \rho g \left( v_{y -} + \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \right) ( y + dy ) dzdx$$

$$= \rho g \bigg( v_{y -}y + y \left.... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dzdx$$

$$= \rho g \bigg( v_{y -}y + \left. \frac{\partial (vy)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.131)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$ (2.132)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +}g \left(y + \frac{dy} {2} \right) = \rho g w_{z +}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy$$

$$= \rho g \bigg\{ w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) + y \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$ (2.133)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.19（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.129)$-$ 式(2.130)

$$\rho g u_{x -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dydz - \rho g \bigg\{ u... ... + y \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg\} dydz$$

$$= - \rho g y \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.134)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.131)$-$ 式(2.132)

$$\rho g v_{y -}y dzdx - \rho g \bigg( v_{y -}y + \left. \frac{\partial (vy)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \rho g \left. \frac{\partial (vy)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.135)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.133)$-$ 式(2.134)

$$\rho g w_{z -}\left( y + \frac{dy} {2} \right) dxdy - \rho g \bigg\{ w... ... + y \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg\} dxdy$$

$$= - \rho g y \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.136)

xyz軸での出入の総和、式(2.135)$+$ 式(2.136)$+$ 式(2.137)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による位置エネルギーの出入は次式で表される。

$$- \rho g \bigg( y \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial (vy)}{\partial y} + y \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho g \bigg( y \dfrac{\partial u}{\partial x} + v \dfrac{\pa... ...\dfrac{\partial v}{\partial y} + y \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho g \bigg\{ v \dfrac{\partia... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \rho g v dxdydz$$

$$= \rho \bm{g} \cdot \bm{v} dxdydz$$ (2.137)

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