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2.4.2.8 圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は変化する)

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.139) $ ^{\text{p.\pageref{eq-internal-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.17)-(2.22) $ ^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x-com}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $ ^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \dot{m}_{x -}c_v T_{x -}= \rho_{x -}c_v T_{x -}u_{x -}dydz$ (2.139)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \dot{m}_{x +}$ $\displaystyle c_v T_{x +}= \rho_{x +}c_v T_{x +}u_{x +}dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle c_v \bigg( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \...
...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$    
$\displaystyle =$ % latex2html id marker 23390 $\displaystyle c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}...
...視する(\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm})}$    
  % latex2html id marker 23391 $\displaystyle \underbrace{ + T_{x -}\left. \frac{...
...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm})} \bigg) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}+ \rho_{x -}T_{x -}\left. \fra...
... -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\rho T u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$ (2.140)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{y -}c_v T_{y -}= \rho_{y -}c_v T_{y -}v_{y -}dzdx$ (2.141)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{y +}$ $\displaystyle c_v T_{y +}= \rho_{y +}c_v T_{y +}v_{y +}dzdx$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle c_v \bigg( \rho_{y -}T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\rho T v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$ (2.142)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle \dot{m}_{z -}c_v T_{z -}= \rho_{z -}c_v T_{z -}w_{z -}dxdy$ (2.143)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle \dot{m}_{z +}$ $\displaystyle c_v T_{z +}= \rho_{z +}c_v T_{z +}w_{z +}dxdy$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle c_v \bigg( \rho_{z -}T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\rho T w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$ (2.144)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$ xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる2.202.1.6 $ ^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ )。

$ x$ 軸に沿った出入
式(2.140)$ -$ 式(2.141)

$\displaystyle \rho_{x -}$ $\displaystyle c_v T_{x -}u_{x -}dydz - c_v \bigg( \rho_{x -}T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\rho T u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - c_v \left. \frac{\partial (\rho T u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$ (2.145)

$ y$ 軸に沿った出入
式(2.142)$ -$ 式(2.143)

$\displaystyle \rho_{y -}$ $\displaystyle c_v T_{y -}v_{y -}dzdx - c_v \bigg( \rho_{y -}T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\rho T v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - c_v \left. \frac{\partial (\rho T v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$ (2.146)

$ z$ 軸に沿った出入
式(2.144)$ -$ 式(2.145)

$\displaystyle \rho_{z -}$ $\displaystyle c_v T_{z -}w_{z -}dxdy - c_v \bigg( \rho_{z -}T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\rho T w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - c_v \left. \frac{\partial (\rho T w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$ (2.147)

xyz軸での出入の総和、式(2.146)$ +$ 式(2.147)$ +$ 式(2.148)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7 $ ^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による内部エネルギーの出入は次式で表される2.21

$\displaystyle - c_v$ $\displaystyle \bigg( \dfrac{\partial (\rho Tu)}{\partial x} + \dfrac{\partial (\rho Tv)}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho Tw)}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = - c_v \bigg( \rho T \dfrac{\partial u}{\partial x} + \rho u \df...
...c{\partial T}{\partial z} + T w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = - c_v \bigg\{ \rho T \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \d...
...l \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydz$    
  $\displaystyle = - c_v ( \rho T \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla}T + T \bm{v} \cdot \bm{\nabla}\rho ) dxdydz$    
  $\displaystyle = - c_v \bm{\nabla} \cdot (\rho T \bm{v}) dxdydz$ (2.148)


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