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2.4.2.9 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.139) $^{\text{p.\pageref{eq-internal-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.27)-(2.32) $^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}c_v T_{x -}= \rho c_v T_{x -}u_{x -}dydz$$ (2.149)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}c_v T_{x +} = \rho c_v T_{x +}u_{x +}dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -} + \left. \frac{\partial T}{\partial x} ... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ T... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ T_{x -}\left. \frac{\partial u}... ..._{x -}\left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.150)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}c_v T_{y -}= \rho c_v T_{y -}v_{y -}dzdx$$ (2.151)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}c_v T_{y +} = \rho c_v T_{y +}v_{y +}dzdx$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.152)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}c_v T_{z -}= \rho c_v T_{z -}w_{z -}dxdy$$ (2.153)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +}c_v T_{z +} = \rho c_v T_{z +}w_{z +}dxdy$$

$$= \rho c_v \bigg( T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.154)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.22（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.150)$-$ 式(2.151)

$$\rho c_v T_{x -}u_{x -}dydz - \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.155)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.152)$-$ 式(2.153)

$$\rho c_v T_{y -}v_{y -}dzdx - \rho c_v \bigg( T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.156)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.154)$-$ 式(2.155)

$$\rho c_v T_{z -}w_{z -}dxdy - \rho c_v \bigg( T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.157)

xyz軸での出入の総和、式(2.156)$+$ 式(2.157)$+$ 式(2.158)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による内部エネルギーの出入は次式で表される。

$$- \rho c_v \bigg( \dfrac{\partial (Tu)}{\partial x} + \dfrac{\partial (Tv)}{\partial y} + \dfrac{\partial (Tw)}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho c_v \bigg( T \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \dfrac{\... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial T}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho c_v \bigg\{ u \dfrac{\part... ...\dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz$$ (2.158)

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