解答

1. 可逆熱機関の効率は式(24) $^{\text{p.\pageref{eq-CarnotHeatengineEfficiency}}}$で表される。二つの熱源の差が大きいほど効率は良くなるため、5℃と1000℃の組み合わせが最も効率が高くなる。式(24)中 $\varTheta_{\rm 1}$[K]が高温熱源温度、 $\varTheta_{\rm 2}$[K]が低温熱源の温度であるので、それぞれの値を求める。

   $$\varTheta_{\rm 1} = 1000 \: {\rm ℃} + 273.15 = 1273.15 \: {\rm K}$$

   $$\varTheta_{\rm 2} = 5 \: {\rm ℃} + 273.15 = 278.15 \: {\rm K}$$

   $$\eta = \frac{\varTheta_{\rm 1} - \varTheta_{\rm 2}}{\varTheta_{\r... ...frac{1273.15 \: {\rm K} - 278.15 \: {\rm K}}{1273.15 \: {\rm K}} \simeq 0.781$$
   効率は0.781である。
2. 可逆熱機関の効率は式(24) $^{\text{p.\pageref{eq-CarnotHeatengineEfficiency}}}$で表される。 1000℃と900℃の組合せでの効率 $\eta_{\rm h}$は次のように求められる。
   $$\eta_{\rm h} = \frac{1273.15 \: {\rm K} - 1173.15 \: {\rm K}}{1273.15 \: {\rm K}} \simeq 0.079$$
   100℃と0℃の組合せでの効率 $\eta_{\rm l}$は次のように求められる。
   $$\eta_{\rm l} = \frac{373.15 \: {\rm K} - 273.15 \: {\rm K}}{373.15 \: {\rm K}} \simeq 0.268$$

   このように同じ温度差で可逆熱機関を動作させた場合でも、熱源の温度によって効率は大きく異なる。 900℃の低温熱源で効率0.268を得るには1130.14℃の高温熱源が必要である。

3. 可逆熱機関の効率は式(24) $^{\text{p.\pageref{eq-CarnotHeatengineEfficiency}}}$で表される。 何もない宇宙空間との組合せでの効率 $\eta_{\rm space}$は次のように求められる。
   $$\eta_{\rm space} = \frac{300 \: {\rm K} - 2.7 \: {\rm K}}{300 \: {\rm K}} \simeq 0.991$$
   太陽との組合せでの効率 $\eta_{\rm sun}$は次のように求められる。
   $$\eta_{\rm sun} = \frac{6000 \: {\rm K} - 300 \: {\rm K}}{6000 \: {\rm K}} \simeq 0.950$$
   このように宇宙空間と地球表面での方が効率が高いが、伝わる熱量は太陽からの方が圧倒的に大きいため、動作させれば得られる仕事は太陽との方が大きくなる。

4. 可逆ヒートポンプの成績係数は式(8) $^{\text{p.\pageref{eq-EfficiencyPumpQ}}}$より
   $$\epsilon_{\rm 12可} = \frac{ \vert Q_{\rm 1 可} \vert }{ \vert Q_{\... ...rac{ 1 }{ 1 - \dfrac{ \vert Q_{\rm 2 可} \vert }{ \vert Q_{\rm 1 可} \vert } }$$
   ここに式(20) $^{\text{p.\pageref{eq-AbsoluteTemperature}}}$を代入する。
   $$\epsilon_{\rm 12可} = \frac{ 1 }{ 1 - \dfrac{\varTheta_{\rm 2}}{\v... ..._{\rm 1}} } = \frac{\varTheta_{\rm 1}}{\varTheta_{\rm 1} - \varTheta_{\rm 2}}$$
   可逆ヒートポンプの成績係数は熱源の温度により上式のように表される。

5. 可逆熱機関の効率は式(24) $^{\text{p.\pageref{eq-CarnotHeatengineEfficiency}}}$で表される。 0 Kと300 Kの組み合わせでの効率 $\eta_{\rm0 K}$は次のように求められる。
   $$\eta_{\rm0 K} = \frac{300 \: {\rm K} - 0 \: {\rm K}}{300 \: {\rm K}} = 1$$
   このように低温熱源が0 Kである場合には高温熱源の温度にかかわらず効率は1となり、高温熱源から受け取った熱は全て仕事に変換できる。 次に可逆ヒートポンプの成績係数は上問の解答より成績係数 $\epsilon_{\rm0 K}$は次のように求められる。
   $$\epsilon_{\rm0 K} = \frac{300 \: {\rm K}}{300 \: {\rm K} - 0 \: {\rm K}} = 1$$
   このように低温熱源が0 Kである場合には高温熱源の温度にかかわらず可逆ヒートポンプの成績係数は1となり、高温側で得られる熱は仕事からのみであり、低温熱源から熱を奪うことはできない。

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