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2.3.5.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

式(2.39) $^{\text{p.\pageref{eq-govM}}}$ へ、式(2.40) $^{\text{p.\pageref{eq-momuns-com}}}$ 、式(2.52) $^{\text{p.\pageref{eq-momadv-com}}}$ 、式(2.76) $^{\text{p.\pageref{eq-momstr-com}}}$ 、式(2.88) $^{\text{p.\pageref{eq-mombod}}}$ を入れると、以下の式が得られる。

$$\bigg( \rho \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg) dxdydx = - \left( \begin{array}{c} \bm{\nabla} \cdot (\rho u \bm{v}) \\ ... ...} \mu \bm{\nabla}(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) \right) dxdydz + \rho \bm{g} dxdydz$$

$$\rho \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \left( \begin{array}{c} \bm{\nabla} \cdot (\rho u \bm{v}) \\ ... ...} \bm{v} + \dfrac{1}{3} \mu \bm{\nabla}(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) + \rho \bm{g}$$

$$\rho \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \left( \begin{array}{c} \rho u \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \rh... ...} \bm{v} + \dfrac{1}{3} \mu \bm{\nabla}(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) + \rho \bm{g}$$ (2.88)

上式を整理するために質量保存式(2.37) $^{\text{p.\pageref{eq-mass-com}}}$ を用いる。質量保存式(2.37) $^{\text{p.\pageref{eq-mass-com}}}$ の両辺に速度ベクトル$\bm{v}$ [m/s]を掛けると次式となる。

$$\bm{v} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \bm{v} \{\bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v})\}$$

$$= - \left( \begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array} \right) \{\bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v})\}$$

$$= - \left( \begin{array}{c} \rho u \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + u \... ... \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + w \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho \end{array} \right)$$

上式を先ほど求めた運動量保存の式(2.89) $^{\text{p.\pageref{eq-momentum_ori-com}}}$ から引き密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]で割ると次式が得られる。ここで、$\nu$ [m$^2$ /s]は動粘性係数であり粘性係数$\mu$ [Pa$\cdot$ s]により $\nu = \mu / \rho$ と表される。

$$\frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = - \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\nabla} u \\ \bm{v} ... ...nabla} \bm{v} + \dfrac{1}{3} \nu \bm{\nabla}(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) + \bm{g}$$ (2.89)

$$\left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial u}{\partial t} \vspace{.5... ...\partial t} \vspace{.5em} \\ \dfrac{\partial w}{\partial t} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} u - \dfrac{1... ...\partial z} \big( \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \big) \bigg\} \\ \end{array} \right)$$

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