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2.5.2.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.193) $^{\text{\pageref{eq-component-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.27)-(2.32) $^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\omega_{i,{x -}} \dot{m}_{x -}= \rho \omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz$$ (2.203)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\omega_{i,{x +}} \dot{m}_{x +}= \rho \omega_{i,{x +}} u_{x +}dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} + \left. \frac{\partial \omega_i}{... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \omega_{i,{x -}} \left. \... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.204)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\omega_{i,{y -}} \dot{m}_{y -}= \rho \omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx$$ (2.205)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\omega_{i,{y +}} \dot{m}_{y +}= \rho \omega_{i,{y +}} v_{y +}dzdx$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{y -}} v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.206)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\omega_{i,{z -}} \dot{m}_{z -}= \rho \omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy$$ (2.207)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\omega_{i,{z +}} \dot{m}_{z +}= \rho \omega_{i,{z +}} w_{z +}dxdy$$

$$= \rho \bigg( \omega_{i,{z -}} w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.208)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.28（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.204)$-$ 式(2.205)

$$\rho \omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz - \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x ... ...\frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.209)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.206)$-$ 式(2.207)

$$\rho \omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx - \rho \bigg( \omega_{i,{y -}} v_{y ... ...\frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.210)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.208)$-$ 式(2.209)

$$\rho \omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy - \rho \bigg( \omega_{i,{z -}} w_{z ... ...\frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.211)

xyz軸での出入の総和、式(2.210)$+$ 式(2.211)$+$ 式(2.212)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による成分の質量の出入は次式で表される。

$$- \rho \dfrac{\partial (\omega_i u)}{\partial x} dxdydz - \rho \dfrac{\p... ... v)}{\partial y} dxdydz - \rho \dfrac{\partial (\omega_i w)}{\partial z} dxdydz$$

$$= - \rho \bigg( \omega_{i} \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \df... ...\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho \bigg\{ u \dfrac{\partial ... ... \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)}_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$$

$$= - \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \omega_i dxdydz$$ (2.212)

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