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2.5.3.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$- \rho_{x -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x -}} \cdot \bm{A}_{x -}= ... ...{x -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$$ (2.213)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$- \rho_{x +} D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x +}} \cdot \bm{A}_{x +}= - \rho_{x +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \bigg\vert _{x +}dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial... ...artial \omega_i}{\partial x} }{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial... ...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx \bigg) dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \fr... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dydz$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.214)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$- \rho_{y -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y -}} \cdot \bm{A}_{y -} =... ...{y -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dzdx$$ (2.215)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$- \rho_{y +} D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y +}} \cdot \bm{A}_{y +}= - \rho_{y +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \bigg\vert _{y +}dzdx$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{y -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.216)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$- \rho_{z -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z -}} \cdot \bm{A}_{z -} =... ...{z -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdy$$ (2.217)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$- \rho_{z +} D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z +}} \cdot \bm{A}_{z +}= - \rho_{z +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\vert _{z +}dxdy$$

$$= - D_i \bigg( \rho_{z -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.218)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.29（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.214)$-$ 式(2.215)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^... ...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$$ (2.219)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.216)$-$ 式(2.217)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial y^... ...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$$ (2.220)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.218)$-$ 式(2.219)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z... ...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^... ...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$$ (2.221)

xyz軸での出入の総和、式(2.220)$+$ 式(2.221)$+$ 式(2.222)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での拡散による成分の質量の出入は次式で表される^2.30。

$$D_i \bigg( \rho \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } + \dfrac{... ...{\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= D_i \bigg\{ \rho \bigg( \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x... ...\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\} dxdydz$$

$$= D_i \big( \rho \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \omega_i + \bm{\nabla} \rho \cdot \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$$

$$= D_i \bm{\nabla} \cdot \big( \rho \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$$ (2.222)

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