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2.5.3.2 非圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は一定)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle - \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x -}} \cdot \bm{A}_{x -}= - \rh...
...\rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$ (2.223)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle - \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x +}} \cdot \bm{A}_{x +}$ $\displaystyle = - \rho D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \bigg\vert _{x +}dydz$    
  $\displaystyle = - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \...
...ac{\partial \omega_i}{\partial x} }{\partial x} \right\vert _ {d} x \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \...
...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx \bigg) dydz$ (2.224)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle - \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y -}} \cdot \bm{A}_{y -} = - \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dzdx$ (2.225)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle - \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y +}} \cdot \bm{A}_{y +}$ $\displaystyle = - \rho D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \bigg\vert _{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \...
...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial y^2 } \bigg\vert _{y -}dy \bigg) dzdx$ (2.226)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle - \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z -}} \cdot \bm{A}_{z -} = - \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdy$ (2.227)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle - \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z +}} \cdot \bm{A}_{z +}$ $\displaystyle = - \rho D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\vert _{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \...
...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial z^2 } \bigg\vert _{z -}dz \bigg) dxdy$ (2.228)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$ xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる2.312.1.6 $ ^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ )。

$ x$ 軸に沿った出入
式(2.224)$ -$ 式(2.225)

$\displaystyle - \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\ver...
...\left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dxdydz$ (2.229)

$ y$ 軸に沿った出入
式(2.226)$ -$ 式(2.227)

$\displaystyle - \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\ver...
...\left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dxdydz$ (2.230)

$ z$ 軸に沿った出入
式(2.228)$ -$ 式(2.229)

$\displaystyle - \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\ver...
...\left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dxdydz$ (2.231)

xyz軸での出入の総和、式(2.230)$ +$ 式(2.231)$ +$ 式(2.232)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7 $ ^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での拡散による成分の質量の出入は次式で表される。

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle D_i \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } dxdydz + \rho D_i...
...tial y^2 } dxdydz + \rho D_i \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^2 } dxdydz$    
  $\displaystyle = \rho D_i \bigg( \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } + \...
...a_i}{\partial y^2 } + \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^2 } \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = \rho D_i \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \omega_i dxdydz$ (2.232)


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