• 学問 -top-

2.5.3.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$- \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x -}} \cdot \bm{A}_{x -}= - \rh... ...\rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$$ (2.223)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$- \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x +}} \cdot \bm{A}_{x +} = - \rho D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \bigg\vert _{x +}dydz$$

$$= - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \... ...ac{\partial \omega_i}{\partial x} }{\partial x} \right\vert _ {d} x \bigg) dydz$$

$$= - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \... ...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx \bigg) dydz$$ (2.224)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$- \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y -}} \cdot \bm{A}_{y -} = - \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dzdx$$ (2.225)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$- \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y +}} \cdot \bm{A}_{y +} = - \rho D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \bigg\vert _{y +}dzdx$$

$$= - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \... ...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial y^2 } \bigg\vert _{y -}dy \bigg) dzdx$$ (2.226)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$- \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z -}} \cdot \bm{A}_{z -} = - \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdy$$ (2.227)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$- \rho D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z +}} \cdot \bm{A}_{z +} = - \rho D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\vert _{z +}dxdy$$

$$= - \rho D_i \bigg( \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \... ...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial z^2 } \bigg\vert _{z -}dz \bigg) dxdy$$ (2.228)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.31（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.224)$-$ 式(2.225)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\ver... ...\left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.229)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.226)$-$ 式(2.227)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\ver... ...\left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.230)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.228)$-$ 式(2.229)

$$- \rho D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\ver... ...\left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.231)

xyz軸での出入の総和、式(2.230)$+$ 式(2.231)$+$ 式(2.232)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での拡散による成分の質量の出入は次式で表される。

$$\rho D_i \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } dxdydz + \rho D_i... ...tial y^2 } dxdydz + \rho D_i \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^2 } dxdydz$$

$$= \rho D_i \bigg( \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } + \... ...a_i}{\partial y^2 } + \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^2 } \bigg) dxdydz$$

$$= \rho D_i \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \omega_i dxdydz$$ (2.232)

• 学問 -top-

この図を含む文章の著作権は著者にあり、クリエイティブ・コモンズ 表示 - 非営利 - 改変禁止 3.0 非移植 ライセンスの下に公開する。