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2.3.1 線形-対数 片対数グラフ

線形-対数グラフで直線で表された次の指数関数の式を基本とする。

$$y = 0.9 \times 1.1^x$$ (4)

$x$ 方向に10ずらした式(6)、$y$ 方向に2000ずらした式(7)、定数をそれぞれ変えた式(8)と式(9)でグラフがどう変わるか見ていく。

$$y = 0.9 \times 1.1^{(x - 10)}$$ (6)

$$y = 0.9 \times 1.1^x + 2000$$ (7)

$$y = 3 \times 1.1^x$$ (8)

$$y = 0.9 \times 2^x$$ (9)

式(6)に先ほどと同様に、$y = 10 ^Y$ を代入し両辺の10の対数をとる。

$$y = 0.9 \times 1.1^{(x - 10)}$$

$$10 ^Y = 0.9 \times 1.1^{(x - 10)}$$

$$Y = \log_{10} 0.9 + \log_{10} 1.1^{(x - 10)}$$

$$Y = \log_{10} 0.9 + (x - 10) \times \log_{10} 1.1$$

$$Y = x \log_{10} 1.1 + \log_{10} 0.9 - 10 \times \log_{10} 1.1$$

$$Y \simeq 4.139 \times 10^{-2} x - 0.4597$$

図11(b)に示すように直線となる。表1に示すように元の関数と切片が異なる ²。

式(7)に先ほどと同様に、$y = 10 ^Y$ を代入し両辺の10の対数をとる。

$$y = 0.9 \times 1.1^x + 2000$$

$$10 ^Y = 0.9 \times 1.1^x + 2000$$

$$Y = x \log_{10} (0.9 \times 1.1^x + 2000)$$

図11(b)に示すように$x$ が大きな値の領域では直線に近くなるが$x$ が0に近い領域では曲線となる。

式(8)に先ほどと同様に、$y = 10 ^Y$ を代入し両辺の10の対数をとる。

$$y = 3 \times 1.1^x$$

$$10 ^Y = 3 * 1.1^x$$

$$Y = \log_{10} ( 3 * 1.1^x )$$

$$Y = \log_{10} 3 + x \log_{10} 1.1$$

$$Y \simeq 4.139 \times 10 ^{-2} x + 0.4771$$

対数グラフでは表1に示すように元の関数に比べ切片が増え図11(b)に示すような直線となる。

式(9)に先ほどと同様に、$y = 10 ^Y$ を代入し両辺の10の対数をとる。

$$y = 0.9 \times 2^x$$

$$10 ^Y = 0.9 * 2^x$$

$$Y = \log_{10} ( 0.9 * 2^x )$$

$$Y = \log_{10} 0.9 + x \log_{10} 2$$

$$Y \simeq 0.3010 x - 4.576 \times 10 ^{-2}$$

対数グラフでは表1に示すように元の関数に比べ傾きが大きくなり図11(b)に示すような直線となる。

指数関数は片対数グラフにおいて、関数中の定数が変わった場合や$x$ 方向にずれた場合では直線となるが、元の関数が$y$ 方向にずれると直線とならない。

図 11: 線形-対数グラフでの比較

(a) 線形グラフ

(b) 片対数グラフ

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対数グラフ 2020.03.25版

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