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2.3.2.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

それぞれの面について、質量流量の式(2.23)-(2.28)により運動量を求める。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}= \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz = \rho \l... ...array}{c} u_{x -}^2 u_{x -}v_{x -} u_{x -}w_{x -} \end{array} \right) dydz$$ (2.47)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +}\bm{v}_{x +} = \rho u_{x +}\bm{v}_{x +}dydz$$

$$= \rho \bigg( u_{x -} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \rig... ...\left. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ ... ...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$

$$= \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \rho \left( \begin{array}{c} u_{x -}^2 + \left. \dfrac{\partial... ...c{\partial (u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \end{array} \right) dydz$$ (2.48)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}= \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}dzdx = \rho \l... ...array}{c} u_{y -}v_{y -} v_{y -}^2 v_{y -}w_{y -} \end{array} \right) dzdx$$ (2.49)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +}\bm{v}_{y +} = \rho v_{y +}\bm{v}_{y +}dzdx$$

$$= \rho \bigg( v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= \rho \left( \begin{array}{c} u_{y -}v_{y -}+ \left. \dfrac{\par... ...c{\partial (v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \end{array} \right) dzdx$$ (2.50)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面下

$$\dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}= \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}dxdy = \rho \l... ...{array}{c} u_{z -}w_{z -} v_{z -}w_{z -} w_{z -}^2 \end{array} \right) dxdy$$ (2.51)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面上

$$\dot{m}_{z +}\bm{v}_{z +} = \rho w_{z +}\bm{v}_{z +}dxdy$$

$$= \rho \bigg( w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= \rho \left( \begin{array}{c} u_{z -}w_{z -}+ \left. \dfrac{\par... ...{\partial (w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \end{array} \right) dxdy$$ (2.52)

出る方向が負となるように$xyz$ 軸に垂直な面それぞれを足し合わせ、その和が"対流による運動量の出入"となる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.48)$-$ 式(2.49)

$$\rho u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz - \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx\bigg) dydz$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u^2 )}{\... ...ac{\partial (u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.53)

$y$ 軸に垂直面

式(2.50)$-$ 式(2.51)

$$\rho v_{y -}\bm{v}_{y -}dydz - \rho \bigg( v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy\bigg) dzdx$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u v)}{\p... ...ac{\partial (v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.54)

$z$ 軸に垂直面

式(2.52)$-$ 式(2.53)

$$\rho w_{z -}\bm{v}_{z -}dydz - \rho \bigg( w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz\bigg) dxdy$$

$$= - \rho \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u w)}{\p... ...c{\partial (w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.55)

xyz軸での出入の総和、式(2.54)$+$ 式(2.55)$+$ 式(2.56)をとると、コントロールボリューム全体での対流による運動量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。変形^2.4し、質量保存式(2.34)を代入する。

$$- \rho \bigg( \dfrac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} + \dfrac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} + \dfrac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial (u^2 )}{\partial x... ...)}{\partial y} + \dfrac{\partial (w^2 )}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} 2 u \dfrac{\partial u}{\partial x}... ... w}{\partial y} + 2 w \dfrac{\partial w}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} u \d... ...ial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= - \rho \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\nabla} u \vspace... ....5em} \bm{v} \cdot \bm{\nabla} w \vspace{.5em} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.56)

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