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2.3.2.2 非圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は一定)

それぞれの面について、質量流量の式(2.23)-(2.28)により運動量を求める。その際、展開後に微分の四乗となる項 $ (dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}= \rho u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz = \rho \l...
...array}{c} u_{x -}^2  u_{x -}v_{x -} u_{x -}w_{x -} \end{array} \right) dydz$ (2.47)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \dot{m}_{x +}\bm{v}_{x +}$ $\displaystyle = \rho u_{x +}\bm{v}_{x +}dydz$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( u_{x -} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \rig...
...\left. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$    
  % latex2html id marker 20044 $\displaystyle = \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ ...
...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = \rho \left( \begin{array}{c} u_{x -}^2 + \left. \dfrac{\partial...
...c{\partial (u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \end{array} \right) dydz$ (2.48)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}= \rho v_{y -}\bm{v}_{y -}dzdx = \rho \l...
...array}{c} u_{y -}v_{y -} v_{y -}^2  v_{y -}w_{y -} \end{array} \right) dzdx$ (2.49)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{y +}\bm{v}_{y +}$ $\displaystyle = \rho v_{y +}\bm{v}_{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = \rho \left( \begin{array}{c} u_{y -}v_{y -}+ \left. \dfrac{\par...
...c{\partial (v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \end{array} \right) dzdx$ (2.50)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}= \rho w_{z -}\bm{v}_{z -}dxdy = \rho \l...
...{array}{c} u_{z -}w_{z -} v_{z -}w_{z -} w_{z -}^2 \end{array} \right) dxdy$ (2.51)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{z +}\bm{v}_{z +}$ $\displaystyle = \rho w_{z +}\bm{v}_{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = \rho \left( \begin{array}{c} u_{z -}w_{z -}+ \left. \dfrac{\par...
...{\partial (w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \end{array} \right) dxdy$ (2.52)

出る方向が負となるように$ xyz$ 軸に垂直な面それぞれを足し合わせ、その和が"対流による運動量の出入"となる。

$ x$ 軸に垂直面
式(2.48)$ -$ 式(2.49)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz - \rho \bigg( u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx\bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - \rho \left. \frac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u^2 )}{\...
...ac{\partial (u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \end{array} \right) dxdydz$ (2.53)

$ y$ 軸に垂直面
式(2.50)$ -$ 式(2.51)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle v_{y -}\bm{v}_{y -}dydz - \rho \bigg( v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy\bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = - \rho \left. \frac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u v)}{\p...
...ac{\partial (v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \end{array} \right) dxdydz$ (2.54)

$ z$ 軸に垂直面
式(2.52)$ -$ 式(2.53)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle w_{z -}\bm{v}_{z -}dydz - \rho \bigg( w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz\bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = - \rho \left. \frac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \rho \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (u w)}{\p...
...c{\partial (w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \end{array} \right) dxdydz$ (2.55)

xyz軸での出入の総和、式(2.54)$ +$ 式(2.55)$ +$ 式(2.56)をとると、コントロールボリューム全体での対流による運動量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.[*])。変形2.4し、質量保存式(2.34)を代入する。

$\displaystyle - \rho \bigg( \dfrac{\partial (u\bm{v})}{\partial x} +$ $\displaystyle \dfrac{\partial (v\bm{v})}{\partial y} + \dfrac{\partial (w\bm{v})}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - \rho \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial (u^2 )}{\partial x...
...)}{\partial y} + \dfrac{\partial (w^2 )}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - \rho \left( \begin{array}{c} 2 u \dfrac{\partial u}{\partial x}...
... w}{\partial y} + 2 w \dfrac{\partial w}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$    
$\displaystyle =$ % latex2html id marker 20116 $\displaystyle - \rho \left( \begin{array}{c} u \d...
...ial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \end{array} \right) dxdydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle - \rho \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\nabla} u \vspace...
....5em}  \bm{v} \cdot \bm{\nabla} w \vspace{.5em}  \end{array} \right) dxdydz$ (2.56)


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