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2.4.3 時間あたりに伝わる熱

時間あたりに伝わる熱の量（伝熱量）として、熱伝導による伝熱と熱輻射による伝熱が考えられるが、熱伝導のみを考慮する。 熱伝導による伝熱量$Q$ [W]はフーリエの法則より次式で表される。

$$Q = - k \bm{A} \cdot \bm{\nabla} T$$ (2.159)

ここで、$\bm{A}$ は面積[m$^2$ ]（式(2.5)-(2.10) $^{p.\text{\pageref{eq-Areax}}}$ ）、$k$ は熱伝導率[W/(Km)]である。 上式より、コントロールボリュームのそれぞれの面における熱伝導による伝熱量を求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$- k \bm{A}_{x -}\cdot \bm{\nabla} T_{x -} = - k \left( \begin{array}{c} dydz \vspace{.5em} \\ 0 \vspace{.5e... ...\\ \left. \dfrac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{x -} \end{array} \right)$$

$$= - k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$$ (2.160)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$- k \bm{A}_{x +}\cdot \bm{\nabla} T_{x +} = - k \left( \begin{array}{c} dydz \vspace{.5em} \\ 0 \vspace{.5e... ...\\ \left. \dfrac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{x +} \end{array} \right)$$

$$= - k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _{x +}dydz$$

$$= - k \left( \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {... ...ial x}\bigg(\dfrac{\partial T}{\partial x}\bigg) \right\vert _{x -}\right) dydz$$

$$= - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {... ...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.161)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$- k \bm{A}_{y -}\cdot \bm{\nabla} T_{y -} = - k \left( \begin{array}{c} 0 \vspace{.5em} \\ dzdx \vspace{.5e... ...\\ \left. \dfrac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{y -} \end{array} \right)$$

$$= - k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dzdx$$ (2.162)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$- k \bm{A}_{y +}\cdot \bm{\nabla} T_{y +} = - k \left( \begin{array}{c} 0 \vspace{.5em} \\ dzdx \vspace{.5e... ...\\ \left. \dfrac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{y +} \end{array} \right)$$

$$= - k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _{y +}dzdx$$

$$= - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {... ...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.163)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$- k \bm{A}_{z -}\cdot \bm{\nabla} T_{z -} = - k \left( \begin{array}{c} 0 \vspace{.5em} \\ 0 \vspace{.5em} ... ...\\ \left. \dfrac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{z -} \end{array} \right)$$

$$= - k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdy$$ (2.164)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$- k \bm{A}_{z +}\cdot \bm{\nabla} T_{z +} = - k \left( \begin{array}{c} 0 \vspace{.5em} \\ 0 \vspace{.5em} ... ...\\ \left. \dfrac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{z +} \end{array} \right)$$

$$= - k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _{z +}dxdy$$

$$= - k \bigg( \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {... ...left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.165)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.23（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.161)$-$ 式(2.162)

$$- k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {d} ydz + ... ...dz = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.166)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.163)$-$ 式(2.164)

$$- k \left. \frac{\partial T}{\partial y} \right\vert _ {d} zdz + ... ...dx = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.167)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.165)$-$ 式(2.166)

$$- k \left. \frac{\partial T}{\partial z} \right\vert _ {d} xdy + ... ...dy = k \left. \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.168)

xyz軸での出入の総和、式(2.167)$+$ 式(2.168)$+$ 式(2.169)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での時間あたりに伝わる熱は次式で表される。

$$k \bigg( \dfrac{\partial ^2 T}{\partial x^2 } + \dfrac{\partial ^2 T}{\partial y^2 } + \dfrac{\partial ^2 T}{\partial z^2 } \bigg) dxdydz$$

$$= k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz$$ (2.169)

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