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2.4.5.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

式(2.89)へ、式(2.90)、式(2.104)、式(2.124)、式(2.144)、式(2.165)、式(2.177)を入れると、

$$\bigg\{ \rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \fra... ...rho}{\partial t} \bigg( \frac{1}{2} \bm{v}^2 + gy + c_v T \bigg) \bigg\} dxdydz$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v}^2 \bm{v} ) dxdydz ... ...xdydz - c_v \bm{\nabla} \cdot (\rho T \bm{v}) dxdydz + k \bm{\nabla}^2 T dxdydz$$

$$+ \left\{ - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1}{3... ...bla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} \right\} dxdydz$$

dxdydzで両辺を割ると次式となる。

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\part... ...frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg( \frac{1}{2} \bm{v}^2 + gy + c_v T \bigg)$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v}^2 \bm{v} ) - g y \... ... \bm{v}) - \rho g v - c_v \bm{\nabla} \cdot (\rho T \bm{v}) + k \bm{\nabla}^2 T$$

$$- \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1}{3} \mu \bm{... ...g) \big( \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v}$$ (2.179)

ここで質量保存式の式(2.33)より、

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v})$$

これを上式(2.180)の左辺に代入し整理すると次式となる。

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) - \underbrace{ \bm{\na... ...{v}) \bigg( \frac{1}{2} \bm{v}^2 + gy + c_v T \bigg) }_{右辺の項と釣合い消える}$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bigg\{ \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}^2 + \... ...t (\rho \bm{v}) }_{左辺の項と釣合い消える} + \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T \}$$

$$- \rho g v + k \bm{\nabla}^2 T - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bi... ...g) \big( \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v}$$

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) = - \dfrac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}^2 - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T - \rho g v + k \bm{\nabla}^2 T$$

$$- \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1}{3} \mu \bm{... ...g) \big( \bm{\nabla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v}$$ (2.180)

上式から運動量の保存式(2.85)と速度ベクトル$\bm{v}$ [m/s]の内積を引く。式(2.85)と$\bm{v}$ [m/s]の内積は以下のようになる。また、両辺に$\rho$ [kg/m$^3$ ]を掛けている。

$$\rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = - \rho \bm{v} \cdot \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\n... ...cdot \bm{v}) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} + \rho \bm{v} \cdot \bm{g}$$

上式をA.2(p. )の変形と$\bm{g}$ の計算をすると次式となる。

$$\rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = - \dfrac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}^2 - \bm{v} ... ...a}(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} - \rho g v$$

式(2.181)から上式を引くと次式のエネルギー保存式を得る。

$$\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} = - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + k \bm{\nabla}^2 T - P \bm{\nabla} \cdot \bm{v}$$ (2.181)

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