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2.4.5.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

式(2.94) $^{\text{p.\pageref{eq-govE}}}$ へ、式(2.96) $^{\text{p.\pageref{eq-eneuns}}}$ 、式(2.117) $^{\text{p.\pageref{eq-eneadvkin}}}$ 、式(2.138) $^{\text{p.\pageref{eq-eneadvpot}}}$ 、式(2.159) $^{\text{p.\pageref{eq-eneadvint}}}$ 、式(2.170) $^{\text{p.\pageref{eq-enedif}}}$ 、式(2.184) $^{\text{p.\pageref{eq-enewor}}}$ を入れると次式が導かれる（エネルギー散逸関数$\varPhi$ は十分に小さいと考え無視する）。

$$\rho \bigg( \bm{v} \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) dxdydz = - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v})... ...m{g} \cdot \bm{v} dxdydz - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz \nonumber$$

$$\hspace{5em} + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz + \left\{... ...abla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} \right\} dxdydz$$

両辺を$dxdydz$ で割って次式を得る。

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) = - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v}) + \rho \bm{g} \cdot \bm{v} - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T$$

$$+ k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}$$ (2.187)

上式から運動量の保存式(2.91) $^{\text{p.\pageref{eq-momentum_rho}}}$ と速度ベクトル$\bm{v}$ [m/s]の内積を引く。式(2.91) $^{\text{p.\pageref{eq-momentum_rho}}}$ と$\bm{v}$ [m/s]の内積は以下のようになる。変形の詳細はA.2.1節 $^{\text{p.\pageref{sec-EnergyDetail}}}$ に示す。

$$\rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = - \rho \bm{v} \cdot \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\n... ...mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} + \rho \bm{g} \cdot \bm{v}$$

$$= - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v... ...mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} + \rho \bm{g} \cdot \bm{v}$$

式(2.188) $^{\text{p.\pageref{eq-energyFull}}}$ から上式を引くと次式となる。

$$\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} = - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T$$ (2.188)

上式を$\rho$ [kg/m$^3$ ]と $c_v$ [J/(kg $\cdot$ K)]で割り、熱拡散率（温度伝導率）$a$ [m$^2$ /s] $=\dfrac{k}{\rho c_v}$ に置き換え次式のようにも表される。

$$\frac{\partial T}{\partial t} = - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + a \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T$$ (2.189)

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