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2.4.5.2 非圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は一定)

式(2.94) $ ^{\text{p.\pageref{eq-govE}}}$ へ、式(2.96) $ ^{\text{p.\pageref{eq-eneuns}}}$ 、式(2.117) $ ^{\text{p.\pageref{eq-eneadvkin}}}$ 、式(2.138) $ ^{\text{p.\pageref{eq-eneadvpot}}}$ 、式(2.159) $ ^{\text{p.\pageref{eq-eneadvint}}}$ 、式(2.170) $ ^{\text{p.\pageref{eq-enedif}}}$ 、式(2.184) $ ^{\text{p.\pageref{eq-enewor}}}$ を入れると次式が導かれる(エネルギー散逸関数$ \varPhi$ は十分に小さいと考え無視する)。

$\displaystyle \rho \bigg( \bm{v} \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) dxdydz =$ $\displaystyle - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v})...
...m{g} \cdot \bm{v} dxdydz - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz \nonumber$    
  $\displaystyle \hspace{5em} + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz + \left\{...
...abla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} \right\} dxdydz$    

両辺を$ dxdydz$ で割って次式を得る。

$\displaystyle \rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) =$ $\displaystyle - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v}) + \rho \bm{g} \cdot \bm{v} - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T$    
  $\displaystyle + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}$ (2.187)

上式から運動量の保存式(2.91) $ ^{\text{p.\pageref{eq-momentum_rho}}}$ と速度ベクトル$ \bm{v}$ [m/s]の内積を引く。式(2.91) $ ^{\text{p.\pageref{eq-momentum_rho}}}$ $ \bm{v}$ [m/s]の内積は以下のようになる。変形の詳細はA.2.1 $ ^{\text{p.\pageref{sec-EnergyDetail}}}$ に示す。

$\displaystyle \rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t}$ $\displaystyle = - \rho \bm{v} \cdot \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\n...
...mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} + \rho \bm{g} \cdot \bm{v}$    
  $\displaystyle = - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v...
...mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} + \rho \bm{g} \cdot \bm{v}$    

式(2.188) $ ^{\text{p.\pageref{eq-energyFull}}}$ から上式を引くと次式となる。

$\displaystyle \rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} =$ $\displaystyle - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T$ (2.188)

上式を$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]と $ c_v$ [J/(kg $ \cdot$ K)]で割り、熱拡散率(温度伝導率)$ a$ [m$ ^2$ /s] $ =\dfrac{k}{\rho c_v}$ に置き換え次式のようにも表される。

$\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t} = - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + a \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T$ (2.189)


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