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2.4.5.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

式(2.94) $^{\text{p.\pageref{eq-govE}}}$ へ、式(2.95) $^{\text{p.\pageref{eq-eneuns-com}}}$ 、式(2.107) $^{\text{p.\pageref{eq-eneadvkin-com}}}$ 、式(2.128) $^{\text{p.\pageref{eq-eneadvpot-com}}}$ 、式(2.149) $^{\text{p.\pageref{eq-eneadvint-com}}}$ 、式(2.170) $^{\text{p.\pageref{eq-enedif}}}$ 、式(2.182) $^{\text{p.\pageref{eq-enewor-com}}}$ を入れると次式が導かれる（エネルギー散逸関数$\varPhi$ は十分に小さいと考え無視する）。

$$\bigg\{ \rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial ... ... \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg( \frac{1}{2} \bm{v} \cdot \bm{v} + gy + c_v T \bigg) \bigg\} dxdydz$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bm{\nabla} \cdot ( \rho (\bm{v} \cdot \bm{v}) \bm{v} ) dxdydz - g \{ y \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) + \rho v \} dxdydz - c_v... ...\nabla} \cdot (\rho T \bm{v}) dxdydz + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz$$

$$+ \left\{ - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1}{3... ...} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} \right\} dxdydz$$

dxdydzで両辺を割り括弧を外すと次式となる。

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v... ... \frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg( \frac{1}{2} \bm{v} \cdot \bm{v} + gy + c_v T \bigg)$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bm{\nabla} \cdot ( (\rho \bm{v} \cdot \bm{v}) \bm{v} ) - g y \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) - \rho g v - c_v \bm{\nabla} \cdot (\rho T \bm{v}) + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T$$

$$- \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1}{3} \mu \bm{... ...bla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}$$ (2.184)

ここで質量保存式の式(2.37) $^{\text{p.\pageref{eq-mass-com}}}$ より、

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v})$$

これを上式(2.185) $^{\text{p.\pageref{eq-energyFull-com}}}$ の左辺に代入し整理すると次式となる。

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) - \underbrace{ \bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v}) \bigg( \frac{1}{2} \bm{v} \cdot \bm{v} + gy + c_v T \bigg) }_{右辺の項と釣合い消える}$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bigg\{ \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdo... ...t (\rho \bm{v}) }_{左辺の項と釣合い消える} + \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T \}$$

$$\hspace{6em} - \rho g v + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T - \bm... ...bla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}$$

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) = - \dfrac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{v}... ...o c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T - \rho g v + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T$$

$$\hspace{6em} - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \bigg( - P + \dfrac{1... ...bla} \cdot \bm{v} \big) + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v}$$ (2.185)

上式から運動量の保存式(2.90) $^{\text{p.\pageref{eq-momentum-com}}}$ と速度ベクトル$\bm{v}$ [m/s]の内積を引く。式(2.90) $^{\text{p.\pageref{eq-momentum-com}}}$ と$\bm{v}$ [m/s]の内積は以下のようになる（両辺に$\rho$ [kg/m$^3$ ]を掛けている）。

$$\rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = - \rho \bm{v} \cdot \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\n... ...u \bm{v} \cdot \bm{\nabla}(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) + \rho \bm{v} \cdot \bm{g}$$

上式を式(A.9) $^{\text{p.\pageref{eq-EnergyDetail2}}}$ の変形と $\bm{g}=(0, 0, g)$ [m/s$^2$ ]の計算をすると次式となる。

$$\rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = - \dfrac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v} \cdot \bm{... ... \dfrac{1}{3} \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}) - \rho g v$$

式(2.186) $^{\text{p.\pageref{eq-energyFull2-com}}}$ から上式を引くと次式のエネルギー保存式を得る。

$$\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} = - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + k \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} T - P \bm{\nabla} \cdot \bm{v}$$ (2.186)

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